UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics PYQs

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Complete solved eBook Mock tests

100 questions.

Q41.

Match List-I with List-II and select the correct answer using the code given below the list :

	List-I		List-II
(a)	Testing significance of difference between two means.	(1)	t-test
(b)	Testing the homogeneity of several (>2) variance.	(2)	$χ^{2}$ -test
(c)	Testing significance of difference between $K (K > 2)$ means.	(3)	Bartlett's $χ^{2}$ -test
(d)	Testing goodness of fd.	(4)	F-test

Code :

सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिये, तथा सूचियों के नीचे दिये कूट के प्रयोग से सही उत्तर चुनिये :

	सूची-I		सूची-II
(a)	दो माध्यों के अन्तर की सार्थकता परीक्षण करना ।	(1)	t-परीक्षण
(b)	विभिन्न (>2) प्रसरणों की समांगता का परीक्षण करना ।	(2)	$χ^{2}$ -परीक्षण
(c)	$K (K > 2)$ माध्यों के अन्तर की सार्थकता परीक्षण करना ।	(3)	बार्टलेट का $χ^{2}$ परीक्षण
(d)	आसंजन के सौष्ठव की जाँच करना	(4)	F-परीक्षण

कूट :

A(a)-(1), (b)-(3), (c)-(4), (d)-(2)
B(a)-(2), (b)-(4), (c)-(1), (d)-(3)
C(a)-(4), (b)-(1), (c)-(3), (d)-(2)
D(a)-(3), (b)-(1), (c)-(4), (d)-(2)

Show answer

Concept: Each classical test has its own job.

Two means → t-test: (a)-(1).
Homogeneity of several variances → Bartlett's χ² test: (b)-(3).
Several (k > 2) means → ANOVA F-test: (c)-(4).
Goodness of fit of a frequency distribution → χ² test: (d)-(2).

Short trick: t = 2 means, F = many means, Bartlett = many variances, χ² = fit.

अवधारणा: हर परीक्षण का अपना उपयोग है।

दो माध्य → t-परीक्षण: (a)-(1)।
कई प्रसरणों की समांगता → बार्टलेट χ²: (b)-(3)।
k > 2 माध्य → प्रसरण विश्लेषण F-परीक्षण: (c)-(4)।
आसंजन सौष्ठव → χ² परीक्षण: (d)-(2)।

याद रखें: t = दो माध्य, F = अनेक माध्य, बार्टलेट = अनेक प्रसरण, χ² = आसंजन।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsTests of significanceUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q42.

If, from a bag of 15 Red and 5 Green Balls, two balls are taken one by one and with replacement, then which one of the following is not correct ?

यदि 15 लाल तथा 5 हरी गेंदों वाले किसी झोले से, प्रतिस्थापन सहित एक एक करके दो गेंदें निकाली जाती हैं, तो निम्न में से कौन सही नहीं है ?

AProbability that both are Red is 9/16दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता है, 9/16
BProbabilities that both are Green is 1/16दोनों गेंदों के हरी होने की प्रायिकता है, 1/16
CProbability that both are of same colour is 5/8दोनों गेंदों के समान रंग के होने की प्रायिकता है, 5/8
DProbability that both are of different colours is 5/16दोनों गेंदों के भिन्न-भिन्न रंगों के होने की प्रायिकता है, 5/16

Show answer

Concept: With replacement the two draws are independent: P(R) = 15/20 = 3/4, P(G) = 1/4.

P(both red) = (3/4)² = 9/16 ✓; P(both green) = (1/4)² = 1/16 ✓.
P(same colour) = 9/16 + 1/16 = 10/16 = 5/8 ✓.
P(different colours) = 1 − 5/8 = 3/8 (= 2·3/4·1/4 = 6/16), not 5/16 ✗.

Short trick: Same + different must add to 1: 5/8 + 5/16 ≠ 1, so (D) is the odd one.

अवधारणा: प्रतिस्थापन सहित दोनों निकाल स्वतंत्र हैं: P(लाल) = 3/4, P(हरी) = 1/4।

दोनों लाल = 9/16 ✓; दोनों हरी = 1/16 ✓।
समान रंग = 10/16 = 5/8 ✓।
भिन्न रंग = 1 − 5/8 = 3/8 (= 6/16), 5/16 नहीं ✗।

याद रखें: समान + भिन्न का योग 1 होना चाहिए; 5/8 + 5/16 ≠ 1।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsProbability with replacementUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q43.

The outcomes of an experiment classified as success

(A)

(\bar{A})

failure will follow a Bernoulli distribution if :

किसी प्रयोग का परिणाम, जो सफलता

(A)

तथा असफलता

(\bar{A})

में बाँटा गया है, बरनौली बंटन प्राप्त करेगा यदि एवं केवल यदि :

A $P (A) = \frac{1}{2}$
B $P (A) = 0$
C $P (A) = 1$
D $P (A)$ remains constant in all trials $P (A)$ सभी अभिप्रेयाओं में स्थिर रहेगा

Show answer

Concept: Bernoulli trials: two outcomes, trials independent, and the probability of success p stays the same from trial to trial.

p need not be 1/2 — any 0 < p < 1 is allowed.
P(A) = 0 or 1 makes the outcome certain (degenerate), not a genuine chance experiment.
Constancy of P(A) across trials is the defining condition.

Short trick: Bernoulli = two outcomes + constant p + independence.

अवधारणा: बरनौली परीक्षण: दो परिणाम, स्वतंत्र परीक्षण तथा सफलता की प्रायिकता p हर परीक्षण में स्थिर।

p = 1/2 होना आवश्यक नहीं — 0 < p < 1 कोई भी।
P(A) = 0 या 1 से परिणाम निश्चित (अपभ्रष्ट) हो जाता है।
सभी परीक्षणों में P(A) का स्थिर रहना ही मूल शर्त है।

याद रखें: बरनौली = दो परिणाम + स्थिर p + स्वतंत्रता।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsBernoulli trialsUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q44.

If the random variables x, y and z have the means

μ_{x} = - 3

μ_{y} = 2

and

μ_{z} = 1

; variances

σ_{x}^{2} = 4, σ_{y}^{2} = 5

and

σ_{z}^{2} = 2

; The covariance of

cov (x, y) = - 1

cov (x, z) = - 2

and

cov (y, z) = 1

. Then mean and variance of

W = 3 z + y - 2 x

, will be.

यदि, यादृच्छिक चर x, y और z का माध्य क्रमशः

μ_{x} = - 3

μ_{y} = 2

तथा

μ_{z} = 1

है । प्रसरण

σ_{x}^{2} = 4, σ_{y}^{2} = 5

तथा

σ_{z}^{2} = 2

तथा सह प्रसरण

cov (x, y) = - 1

cov (x, z) = - 2

तथा

cov (y, z) = 1

है । तो,

W = 3 z + y - 2 x

का माध्यतथा प्रसरण होगा ।

A11 and 2911 तथा 29
B14 and 314 तथा 3
C3 and 363 तथा 36
D14 and 2614 तथा 26

Show answer

Concept: $E (a X + b Y + c Z) = a μ_{x} + b μ_{y} + c μ_{z}$ ; $V = a^{2} σ_{x}^{2} + b^{2} σ_{y}^{2} + c^{2} σ_{z}^{2} + 2 a b cov (x, y) + 2 a c cov (x, z) + 2 b c cov (y, z)$ .

Here a = −2 (x), b = 1 (y), c = 3 (z). Mean $= - 2 (- 3) + 2 + 3 (1) = 11$ .
Variance terms: $4 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 9 \cdot 2 = 39$ .
Covariance terms: $2 (- 2) (1) (- 1) = 4$ , $2 (- 2) (3) (- 2) = 24$ , $2 (1) (3) (1) = 6$ → total 34.
V(W) = 39 + 34 = 73. Only (A) has the right mean (11), but its variance 29 is wrong; no option gives (11, 73), so no option is correct as printed.

Short trick: Signs matter: multiply each covariance by 2 × both coefficients with their signs.

अवधारणा: $E (a X + b Y + c Z) = a μ_{x} + b μ_{y} + c μ_{z}$ ; $V = a^{2} σ_{x}^{2} + b^{2} σ_{y}^{2} + c^{2} σ_{z}^{2} + 2 a b cov (x, y) + 2 a c cov (x, z) + 2 b c cov (y, z)$ ।

यहाँ a = −2 (x), b = 1 (y), c = 3 (z)। माध्य $= 6 + 2 + 3 = 11$ ।
प्रसरण पद: $16 + 5 + 18 = 39$ ।
सहप्रसरण पद: $4 + 24 + 6 = 34$ ।
V(W) = 73। केवल (A) में माध्य 11 सही है पर प्रसरण 29 गलत; (11, 73) किसी विकल्प में नहीं, अतः छपे रूप में कोई विकल्प सही नहीं।

याद रखें: हर सहप्रसरण को 2 × दोनों गुणांकों (चिह्न सहित) से गुणा करें।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMean and variance of a linear combinationUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q45.

α

and

β

are probability levels of Type-I and Type-II errors, respectively, then under Neyman-Pearson set-up, we :

यदि

α

तथा

β

क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय प्रकार की त्रुटियों के प्रायिकता स्तर है, तो नेमन–पियरशन व्यवस्था के अन्तर्गत, हम

AMinimize $α$ and $β$ both $α$ तथा $β$ दोनों को न्यूनतम करते हैं ।
BFix $α$ and Minimize $(1 - β)$ $α$ को निर्धारित करके $(1 - β)$ को न्यूनतम करते हैं ।
CFix $β$ and Minimize $α$ $β$ को निर्धारित करके $α$ को न्यूनतम करते है ।
DFix $α$ and Minimize $β$ $α$ को निर्धारित करके $β$ को न्यूनतम करते हैं ।

Show answer

Concept: For a fixed sample size α and β cannot both be minimised; Neyman–Pearson fixes the size α and chooses the test with least β (maximum power 1 − β).

(A) is impossible simultaneously for fixed n.
(B) is the opposite of what we want — power (1 − β) is maximised, not minimised.
(C) reverses the roles; α (the more serious error) is the one fixed.

Short trick: Fix α, minimise β ⇔ most powerful test (NP lemma).

अवधारणा: निश्चित प्रतिदर्श आकार में α व β दोनों एक साथ न्यूनतम नहीं हो सकते; नेमन–पियर्सन α स्थिर कर न्यूनतम β (अधिकतम शक्ति 1 − β) वाला परीक्षण चुनते हैं।

(A) निश्चित n पर असम्भव।
(B) उल्टा है — शक्ति (1 − β) अधिकतम की जाती है।
(C) में भूमिकाएँ उलटी हैं; α स्थिर किया जाता है।

याद रखें: α स्थिर, β न्यूनतम ⇔ सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsNeyman–Pearson approachUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q46.

The pair of correct values of two regression coefficients, i.e., regression coefficient of y on x and that of x on y; is :

दो समाश्रयण गुणांकों अर्थात y का x पर तथा x का y पर; के सही मानों का युग्म होगा :

A $(- 2, \frac{1}{3})$
B $(3, \frac{1}{2})$
C $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$
D $(- 1, + 1)$

Show answer

Concept: $b_{y x} b_{x y} = r^{2} \leq 1$ and both coefficients have the same sign (the sign of r).

(A) and (D): opposite signs — impossible.
(B): 3 × 1/2 = 1.5 > 1 — impossible.
(C): $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \leq 1$ , same sign — valid (r ≈ 0.41).

Short trick: Same sign and product ≤ 1.

अवधारणा: $b_{y x} b_{x y} = r^{2} \leq 1$ तथा दोनों गुणांकों का चिह्न समान (r का चिह्न)।

(A) व (D): विपरीत चिह्न — असम्भव।
(B): 3 × 1/2 = 1.5 > 1 — असम्भव।
(C): गुणनफल 1/6 ≤ 1, समान चिह्न — मान्य।

याद रखें: समान चिह्न तथा गुणनफल ≤ 1।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsProperties of regression coefficientsUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q47.

With reference to coefficient of correlation (r) between two variables x and y which of the following statements is/are true ?
1.

- 1 \leq r \leq + 1

r = 0

, when two regression lines, i.e., regression line of y on x and that of x on y, are at right angles.

दो चरों x तथा y के सहसंबंध गुणांक (r) से सम्बन्धित निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1.

- 1 \leq r \leq + 1

r = 0

, जब दो समाश्रमण रेखायें अर्थात् y की x पर तथा x की y पर; लम्बवत् होती है ।

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

Show answer

Concept: Angle between regression lines: $\tan θ = \frac{1 - r^{2}}{| r |} \cdot \frac{σ_{x} σ_{y}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}$ .

By Cauchy–Schwarz, |r| ≤ 1 — statement 1 true.
When r = 0 the lines are $y = \bar{y}$ and $x = \bar{x}$ , i.e. perpendicular (tan θ → ∞) — statement 2 true.
When r = ±1 the two lines coincide.

Short trick: r = 0 ⇒ lines ⊥; r = ±1 ⇒ lines coincide.

अवधारणा: समाश्रयण रेखाओं के बीच कोण: $\tan θ = \frac{1 - r^{2}}{| r |} \cdot \frac{σ_{x} σ_{y}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}$ ।

कॉशी–श्वार्ज़ से |r| ≤ 1 — कथन 1 सत्य।
r = 0 पर रेखाएँ $y = \bar{y}$ तथा $x = \bar{x}$ , अर्थात् परस्पर लम्बवत् — कथन 2 सत्य।
r = ±1 पर दोनों रेखाएँ सम्पाती।

याद रखें: r = 0 ⇒ लम्बवत्; r = ±1 ⇒ सम्पाती।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsCorrelation and regression linesUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q48.

If, t is an unbiased estimator of

θ

then the minimum variance Bound (MVB) is obtained (for any

λ

free of sample-values), when :

यदि t,

θ

का एक अनभिनत आकलक है, तो किसी

λ

, जो कि प्रतिदर्श मानों से स्वतंत्र है, के लिये न्यूनतम प्रसरण प्रतिबन्ध प्राप्त होगा, तब :

A $\partial^{2} (\log L) / \partial θ^{2} = (\frac{t - θ}{λ})$
B $\partial (\log L) / \partial θ = (\frac{t}{θ})$
C $\partial^{2} (\log L) / \partial θ^{2} = (\frac{t - θ}{θ})$
D $\partial (\log L) / \partial θ = (\frac{t - θ}{λ})$

Show answer

Concept: Equality in the Cramér–Rao inequality holds iff the score is linear in t: $\frac{\partial \log L}{\partial θ} = \frac{t - θ}{λ (θ)}$ .

Then $V (t) = λ (θ)$ , the MVB itself.
The condition involves the first derivative (score), not the second derivative — (A) and (C) are out.
(B) has no (t − θ) term, so it does not give an unbiased MVB estimator.

Short trick: MVB ⇔ score = (t − θ)/λ.

अवधारणा: क्रेमर–राव असमिका में समता तभी जब स्कोर t में रैखिक हो: $\frac{\partial \log L}{\partial θ} = \frac{t - θ}{λ (θ)}$ ।

तब $V (t) = λ (θ)$ ही MVB है।
शर्त प्रथम अवकलज (स्कोर) पर है, द्वितीय पर नहीं — (A), (C) गलत।
(B) में (t − θ) पद नहीं है।

याद रखें: MVB ⇔ स्कोर = (t − θ)/λ।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsCramér–Rao minimum variance boundUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q49.

With reference to Rao-Blackwell Theorem, that if x and y are random variables, such that

E (y) = μ

and

var (y) = σ_{y}^{2}

and

E (y / x) = ϕ (x)

, then which of the following statements is/are correct ?
1.

E {ϕ (x)} = μ

V a r {ϕ (x)} \geq var (y)

Choose correct answer :

Rao-Blackwell प्रमेय के संदर्भ में, यदि x तथा y यादृच्छिक चर हैं, इस प्रकार कि

E (y) = μ

तथा

var (y) = σ_{y}^{2}

तथा

E (y / x) = ϕ (x)

तो निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1.

E {ϕ (x)} = μ

V a r {ϕ (x)} \geq var (y)

सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

Show answer

Concept: Rao–Blackwell: conditioning on x keeps the mean and never increases the variance.

$E {ϕ (x)} = E {E (y | x)} = E (y) = μ$ — statement 1 true.
$V (y) = E {V (y | x)} + V {E (y | x)} \geq V {ϕ (x)}$ , so $V a r {ϕ (x)} \leq var (y)$ — statement 2 has the inequality reversed.

Short trick: Rao–Blackwellisation: same mean, smaller (or equal) variance.

अवधारणा: राव–ब्लैकवेल: x पर प्रतिबन्धित करने से माध्य वही रहता है और प्रसरण बढ़ता नहीं।

$E {ϕ (x)} = E {E (y | x)} = μ$ — कथन 1 सत्य।
$V (y) = E {V (y | x)} + V {ϕ (x)} \geq V {ϕ (x)}$ — अतः कथन 2 में असमिका उलटी है।

याद रखें: राव–ब्लैकवेलीकरण: माध्य वही, प्रसरण कम या बराबर।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsRao–Blackwell theoremUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q50.

If,

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, is a random sample from a population

N (0, σ^{2})

, then the sufficient statistic for

σ^{2}

is :

यदि

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, समष्टि

N (0, σ^{2})

से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, तो

σ^{2}

का पर्याप्त प्रतिदर्शन (statistic) होगा :

A $\sum x_{i}$
B $\sum x_{i}^{2}$
C $(\sum x_{i})^{2}$
DBoth (B) and (C)(B) तथा (C) दोनों

Show answer

Concept: Factorisation theorem: $L = (2 π σ^{2})^{- n / 2} \exp (- \frac{\sum x_{i}^{2}}{2 σ^{2}})$ depends on the data only through $\sum x_{i}^{2}$ .

So $T = \sum x_{i}^{2}$ is sufficient for $σ^{2}$ (mean known = 0).
$\sum x_{i}$ and $(\sum x_{i})^{2}$ lose the information in the spread, so they are not sufficient.

Short trick: Known mean 0 ⇒ sufficient statistic for variance is $\sum x_{i}^{2}$ .

अवधारणा: गुणनखण्ड प्रमेय: $L = (2 π σ^{2})^{- n / 2} \exp (- \frac{\sum x_{i}^{2}}{2 σ^{2}})$ आँकड़ों पर केवल $\sum x_{i}^{2}$ के माध्यम से निर्भर है।

अतः $\sum x_{i}^{2}$ , $σ^{2}$ हेतु पर्याप्त है।
$\sum x_{i}$ तथा $(\sum x_{i})^{2}$ पर्याप्त नहीं हैं।

याद रखें: ज्ञात माध्य 0 ⇒ प्रसरण हेतु पर्याप्त प्रतिदर्शज $\sum x_{i}^{2}$ ।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsSufficient statisticUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q51.

Let (i) T be minimum variance unbiased estimator (MVU) of

g (θ)

.
(ii)

T_{1}

and

T_{2}

be unbiased estimators of

g (θ)

with efficiencies

e_{1} = 0.4

and

e_{2} = 0.9

, respectively.
Then, if

ρ

is the correlation coefficient between

T_{1}

and

T_{2}

, its value will lie in the internal.

माना कि (i) T,

g (θ)

का न्यूनतम विचरण निष्पक्ष अनुमानक है ।
(ii)

T_{1}

तथा

T_{2}

क्रमशः दक्षता

e_{1} = 0.4

तथा

e_{2} = 0.9

के साथ निष्पक्ष अनुमानक हैं ।
तो, यदि

ρ

T_{1}

तथा

T_{2}

के बीच सहसंबंध गुणांक है, तो इसका मान निम्न अंतराल में होगा ।

A $0.335 \leq ρ \leq 0.825$
B $0.345 \leq ρ \leq 0.835$
C $0.355 \leq ρ \leq 0.845$
D $0.365 \leq ρ \leq 0.855$

Show answer

Concept: For unbiased estimators with efficiencies $e_{1}, e_{2}$ (relative to the MVU estimator): $\sqrt{e_{1} e_{2}} - \sqrt{(1 - e_{1}) (1 - e_{2})} \leq ρ \leq \sqrt{e_{1} e_{2}} + \sqrt{(1 - e_{1}) (1 - e_{2})}$ .

$\sqrt{e_{1} e_{2}} = \sqrt{0.36} = 0.6$ .
$\sqrt{(0.6) (0.1)} = \sqrt{0.06} = 0.245$ .
Interval: $0.6 - 0.245 = 0.355$ to $0.6 + 0.245 = 0.845$ .

Short trick: Centre √(e₁e₂), half-width √((1−e₁)(1−e₂)). (If one estimator is MVU, ρ = √e.)

अवधारणा: दक्षता $e_{1}, e_{2}$ वाले निष्पक्ष आकलकों हेतु: $\sqrt{e_{1} e_{2}} - \sqrt{(1 - e_{1}) (1 - e_{2})} \leq ρ \leq \sqrt{e_{1} e_{2}} + \sqrt{(1 - e_{1}) (1 - e_{2})}$ ।

$\sqrt{0.36} = 0.6$ ।
$\sqrt{0.06} = 0.245$ ।
अंतराल: 0.355 से 0.845।

याद रखें: केन्द्र √(e₁e₂), अर्ध-चौड़ाई √((1−e₁)(1−e₂))।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsEfficiency and correlation of estimatorsUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q52.

The canonical correlation techniques have been introduced by :

विहित सहसंबंध विश्लेषण विधि पेश की गयी है, निम्न के द्वारा

AR.A. Fisherआर.ए. फिशर
BJ. Wishartजे विशार्ट
CH. Hotellingएच. होटेलिंग
DP.C. Mahalanobisपी.सी. महालनोबीस

Show answer

Concept: Harold Hotelling introduced canonical correlation analysis (1936), relating two sets of variables through pairs of linear combinations with maximum correlation.

Hotelling also gave principal component analysis (1933) and the T² statistic.
Wishart — Wishart distribution; Mahalanobis — D² distance; Fisher — discriminant function, ANOVA.

Short trick: Hotelling: PCA, canonical correlation, T².

अवधारणा: हैरोल्ड होटेलिंग ने विहित सहसंबंध विश्लेषण (1936) दिया — दो चर-समूहों के रैखिक संयोजनों के बीच अधिकतम सहसंबंध।

होटेलिंग: मुख्य घटक विश्लेषण (1933) तथा T² प्रतिदर्शज भी।
विशार्ट — विशार्ट बंटन; महालनोबीस — D² दूरी; फिशर — विवेचक फलन, ANOVA।

याद रखें: होटेलिंग = PCA, विहित सहसंबंध, T²।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsCanonical correlationUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q53.

With reference to multinomial distribution, Match List-I with List-II and select the correct answer using the code given below the list :

	List-I		List-II
(a)	Parameters	(1)	$n p_{i}$
(b)	Mean	(2)	$\frac{n!}{x_{1}! x_{2}! \dots x_{k}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \dots p_{k}^{x_{k}}$
(c)	Variance	(3)	$n_{i} p_{i} (1 - p_{i})$
(d)	Probability mass function	(4)	n = number of trials (integer) (n > 0) $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ event probabilities

Code :

बहुपद बंटन के संदर्भ में, सूची-I का सूची-II संमिलान कीजिये तथा सूचियों के नीचे दिये कूट के प्रयोग से सही उत्तर बताइये :

	सूची-I		सूची-II
(a)	प्राचल	(1)	$n p_{i}$
(b)	माध्य	(2)	$\frac{n!}{x_{1}! x_{2}! \dots x_{k}!} p_{1}^{x_{1}} p_{2}^{x_{2}} \dots p_{k}^{x_{k}}$
(c)	प्रसरण	(3)	$n_{i} p_{i} (1 - p_{i})$
(d)	प्रायिकता द्रव्य मान फलन	(4)	n = अभिप्रयोगों की संख्या (n > 0) $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ घटना की प्रायिकतायें

कूट :

A(a)-(1), (b)-(3), (c)-(4), (d)-(2)
B(a)-(2), (b)-(4), (c)-(1), (d)-(3)
C(a)-(4), (b)-(1), (c)-(3), (d)-(2)
D(a)-(3), (b)-(1), (c)-(4), (d)-(2)

Show answer

Concept: Multinomial( $n; p_{1}, \dots, p_{k}$ ): $P = \frac{n!}{\prod x_{i}!} \prod p_{i}^{x_{i}}$ , $E (X_{i}) = n p_{i}$ , $V (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i})$ .

Parameters are n and the event probabilities p₁…p_k: (a)-(4).
Mean npᵢ: (b)-(1); variance npᵢ(1 − pᵢ): (c)-(3); the factorial formula is the p.m.f.: (d)-(2).

Short trick: Each Xᵢ is marginally Binomial(n, pᵢ).

अवधारणा: बहुपद( $n; p_{1}, \dots, p_{k}$ ): $P = \frac{n!}{\prod x_{i}!} \prod p_{i}^{x_{i}}$ , $E (X_{i}) = n p_{i}$ , $V (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i})$ ।

प्राचल n तथा p₁…p_k: (a)-(4)।
माध्य npᵢ: (b)-(1); प्रसरण npᵢ(1 − pᵢ): (c)-(3); क्रमगुणित सूत्र p.m.f.: (d)-(2)।

याद रखें: प्रत्येक Xᵢ सीमान्त रूप से द्विपद(n, pᵢ) है।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMultinomial distributionUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q54.

The distribution of Hotelling

T^{2}

is :

होटेलिंग

T^{2}

का बंटन होता है :

ANormal Distributionप्रसामान्य बंटन
BF-distributionF-बंटन
C $χ^{2}$ -distribution $χ^{2}$ -बंटन
DBinomial Distributionद्विपद बंटन

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Concept: Hotelling's $T^{2}$ is the multivariate analogue of Student's t ( $t^{2}$ in p dimensions).

For a sample of size n from $N_{p} (μ, Σ)$ : $\frac{n - p}{p (n - 1)} T^{2} \sim F_{p, n - p}$ .
For p = 1 it reduces to $t^{2} = F_{1, n - 1}$ .

Short trick: T² is a scaled F.

अवधारणा: होटेलिंग $T^{2}$ , स्टूडेंट t का बहुचर रूप है।

$N_{p} (μ, Σ)$ से n आकार के प्रतिदर्श हेतु $\frac{n - p}{p (n - 1)} T^{2} \sim F_{p, n - p}$ ।
p = 1 पर $t^{2} = F_{1, n - 1}$ ।

याद रखें: T² = मापित F।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsHotelling's T²UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q55.

With reference to path analysis; which of the following statements is/are true ?
1. Path analysis is a form of multiple regression statistical analysis, that is used to evaluate causal models by examining the relationships between a dependent variable and two or more independent variables.
2. For conducting path analysis, all the cause relationship between variable, must move only in one direction.
Select the correct answer :

पथ विश्लेषण के संदर्भ में निम्न कथनों में कौन सत्य है/हैं ?
1. पथ विश्लेषण, एकाधिक प्रतिगमन सांख्यिकीय विश्लेषण का एक रूप है, जो एक आश्रित चर और दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर के मानों के बीच संबंधों की जाँच करके कारण निदर्श (माडल) का मूल्यांकन करने के लिये प्रयोग किया जाता है ।
2. पथ विश्लेषण के संचालन के लिये, चर के बीच सभी कारण संबंध केवल एक ही दिशा में जाने चाहिये ।
सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Path analysis (Sewall Wright, 1921) splits correlations into direct and indirect effects using standardised partial regression (path) coefficients.

It is an extension of multiple regression to evaluate causal models — statement 1 true.
It assumes a recursive model: causal flow is one-way, with no feedback loops — statement 2 true.
In plant breeding it splits the correlation of yield components with yield.

Short trick: Path coefficient = standardised partial regression coefficient; arrows run one way.

अवधारणा: पथ विश्लेषण (सीवाल राइट, 1921) सहसंबंध को प्रत्यक्ष व अप्रत्यक्ष प्रभावों में बाँटता है।

यह बहु प्रतिगमन का विस्तार है, कारण निदर्शों के मूल्यांकन हेतु — कथन 1 सत्य।
पुनरावर्ती (recursive) निदर्श — कारण-प्रवाह एक ही दिशा में — कथन 2 सत्य।
पादप प्रजनन में उपज घटकों के प्रभाव ज्ञात करने हेतु प्रयुक्त।

याद रखें: पथ गुणांक = मानकीकृत आंशिक प्रतिगमन गुणांक।

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Q56.

With respect to Mahalanobis

D^{2}

-statistic, which of the following statements is/are correct ?
1. The Mahalanobis

D^{2}

-statistic is a measure of generalized distance between samples based on the means, variances and covariances of various properties of replicate samples, in multivariate analysis.
2. The larger the

D^{2}

, the greater is the distance between the samples (or properties measured)
Select the correct answer :

महालनोबीस

D^{2}

-प्रतिदर्शज के संदर्भ में निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1. महालनोबीस

D^{2}

-प्रतिदर्शज, बहुचरीय विश्लेषण में प्रतिकृत प्रतिदर्शों के विभिन्न लक्षणों / गुणों (Properties) के माध्यों, प्रसरणों तथा सह-प्रसरणों पर आधारित प्रतिदर्शों के बीच व्याप्तीकृत (generalised) दूरी का, एक माप होता है ।
2.

D^{2}

, का मान जितना बड़ा है, प्रतिदर्शों अथवा मापे गये लक्षणों के बीच उतनी अधिक दूरी होगी ।
सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: $D^{2} = ({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2})^{'} S^{- 1} ({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2})$ — distance that accounts for variances and covariances.

Statement 1 is its definition (generalised distance).
Larger D² ⇒ more divergent groups — statement 2 true; used for genetic divergence and clustering (Tocher's method).

Short trick: D² = Euclidean distance after removing scale and correlation.

अवधारणा: $D^{2} = ({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2})^{'} S^{- 1} ({\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2})$ — प्रसरण व सहप्रसरण को ध्यान में रखने वाली दूरी।

कथन 1 इसकी परिभाषा है।
D² जितना बड़ा, समूहों में उतना अधिक अपसरण — कथन 2 सत्य; आनुवंशिक अपसरण व समूहन (टोचर विधि) में प्रयोग।

याद रखें: D² = पैमाना व सहसंबंध हटाकर दूरी।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMahalanobis D²UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q57.

The range of Wilks'

Λ

is :

Wilks'

Λ

का विस्तार है :

A–1 to 1–1 से 1
B0 to 10 से 1
C $- \infty$ to $\infty$ $- \infty$ से $\infty$
D–1 to 0

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Concept: $Λ = \frac{| W |}{| W + B |}$ , a ratio of determinants of positive (semi-)definite SSCP matrices.

Both determinants are ≥ 0 and $| W + B | \geq | W |$ , so $0 \leq Λ \leq 1$ .
Λ near 0 ⇒ group means differ strongly (reject H₀); Λ near 1 ⇒ no difference.

Short trick: Wilks' Λ behaves like 1 − R²: between 0 and 1, small is significant.

अवधारणा: $Λ = \frac{| W |}{| W + B |}$ — धनात्मक निश्चित आव्यूहों के सारणिकों का अनुपात।

दोनों सारणिक ≥ 0 तथा $| W + B | \geq | W |$ , अतः $0 \leq Λ \leq 1$ ।
Λ शून्य के निकट ⇒ समूह माध्यों में अधिक अन्तर।

याद रखें: Λ, 1 − R² जैसा: 0 से 1 के बीच, छोटा मान सार्थक।

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Q58.

In a multinomial distribution with parameters n and probabilities

(p_{1}, p_{2}, p_{k})

, the mutual correlation between multinomial variables

(x_{1}, x_{2}, x_{k})

is always :

एक बहुपद बंटन में, जिसके प्राचल n और प्रायिकतायें

(p_{1}, p_{2}, p_{k})

हों, के बहुपद चरों

(x_{1}, x_{2}, x_{k})

के मध्य परस्पर सहसंबंध गुणांक सदैव होता है :

AZeroशून्य
BPositiveधनात्मक
CNegativeऋणात्मक
DDepends on the value of nn के मान पर निर्भर करता है ।

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Concept: $cov (X_{i}, X_{j}) = - n p_{i} p_{j}$ , so $ρ_{i j} = - \sqrt{\frac{p_{i} p_{j}}{(1 - p_{i}) (1 - p_{j})}}$ .

Since $\sum X_{i} = n$ is fixed, a larger count in one class forces smaller counts elsewhere.
The correlation is negative and does not depend on n.

Short trick: Fixed total ⇒ classes compete ⇒ negative correlation.

अवधारणा: $cov (X_{i}, X_{j}) = - n p_{i} p_{j}$ , अतः $ρ_{i j} = - \sqrt{\frac{p_{i} p_{j}}{(1 - p_{i}) (1 - p_{j})}}$ ।

$\sum X_{i} = n$ स्थिर है, एक वर्ग में अधिक तो अन्य में कम।
सहसंबंध ऋणात्मक, n पर निर्भर नहीं।

याद रखें: स्थिर योग ⇒ ऋणात्मक सहसंबंध।

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Q59.

With reference to three basic principles of experimental designs, i.e., Randomization, Replication and local control; which of the following statements is/are correct ?
1. Local control reduces error variance.
2. Randomization makes possible to use F-test, for comparison of treatment means.
Select correct answer :

प्रायोगिक अभिकल्पनाओं के तीन मूल भूत सिद्धांतों अर्थात् यादृच्छिकीकरण, पुनरावृत्ति तथा स्थानीय नियंत्रण के संदर्भ में निम्न कथनों में कौन सत्य है/हैं ?
1. स्थानीय नियंत्रण त्रुटि प्रसरण घटाता है ।
2. यादृच्छिकीकरण, उपचार माध्यों के तुलनात्मक अध्ययन हेतु, F-परीक्षण का प्रयोग संभव बनाता है ।
सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Fisher's three principles: replication (estimates error), randomization (validity), local control (efficiency).

Local control (blocking) removes block-to-block variation from error ⇒ smaller error variance — statement 1 true.
Randomization makes errors independent, giving a valid estimate of error and a valid F-test — statement 2 true.

Short trick: Replication → error estimate; Randomization → valid test; Local control → less error.

अवधारणा: फिशर के तीन सिद्धांत: पुनरावृत्ति (त्रुटि आकलन), यादृच्छिकीकरण (वैधता), स्थानीय नियंत्रण (दक्षता)।

स्थानीय नियंत्रण (खंडन) से खंडों का अन्तर त्रुटि से हट जाता है — कथन 1 सत्य।
यादृच्छिकीकरण से त्रुटियाँ स्वतंत्र होती हैं और F-परीक्षण वैध होता है — कथन 2 सत्य।

याद रखें: पुनरावृत्ति → त्रुटि आकलन; यादृच्छिकीकरण → वैध परीक्षण; स्थानीय नियंत्रण → कम त्रुटि।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsPrinciples of experimental designUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q60.

With reference to experimental designs, which of the following statements is/are correct ?
1. In a 5×5 Latin square design, with two missing values, error degrees of freedom will be 10.
2. In a

2^{3}

-factorial experiment with blocks of size 4, atmost one treatment can be confounded.
Select correct answer :

प्रायोगिक अभिकल्पनाओं के संदर्भ में निम्न कथनों में कौन सत्य है/हैं ?
1. 5×5 लैटिन वर्ग अभिकल्पना में, दो प्लाट के मान अप्राप्त (missing) होने पर, त्रुटि की स्वातंत्र्य संख्या (df) होगी 10.
2. एक

2^{3}

-बहुउपादानी प्रयोग में, जिसमें खंडकों (ब्लाक) के आकार 4 है, अधिकतम एक उपचार संकरित किया जा सकता है ।
सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Each missing value estimated costs one error d.f.; a replicate split into 2ᵖ blocks confounds 2ᵖ − 1 effects.

5×5 LSD error d.f. = (m − 1)(m − 2) = 4 × 3 = 12; with two missing plots 12 − 2 = 10 — statement 1 true.
2³ = 8 treatment combinations in blocks of 4 ⇒ 2 blocks per replicate ⇒ 2 − 1 = 1 effect (degree of freedom) confounded — statement 2 true.

Short trick: Missing plot: subtract 1 d.f. each. Blocks: (number of blocks − 1) effects confounded.

अवधारणा: प्रत्येक अप्राप्त मान के आकलन से त्रुटि की एक स्वातंत्र्य कोटि घटती है; 2ᵖ खंडों में 2ᵖ − 1 प्रभाव संकरित होते हैं।

5×5 LSD त्रुटि df = (m − 1)(m − 2) = 12; दो अप्राप्त मान ⇒ 10 — कथन 1 सत्य।
2³ = 8 संयोजन, खंड आकार 4 ⇒ प्रति पुनरावृत्ति 2 खंड ⇒ केवल 1 प्रभाव संकरित — कथन 2 सत्य।

याद रखें: अप्राप्त मान: हर एक पर 1 df कम; संकरित प्रभाव = खंड संख्या − 1।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsLSD missing plots and confoundingUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)