UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics PYQs

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Complete solved eBook Mock tests

70 questions in Agricultural Statistics.

Q1.

With reference to partial differentiation of

z = x^{2} y^{2}

which of the following statements is/are correct ?
1.

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 4

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

Select the correct answer :

z = x^{2} y^{2}

के आंशिक अवकलन के संदर्भ में निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1.

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 4

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}

सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2 दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

Show answer

Concept: For a function with continuous second partials, mixed partial derivatives are equal (Schwarz/Clairaut theorem).

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 x^{2} y$ , then $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 4 x y$ — a function of x and y, not the constant 4. Statement 1 is false.
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x y^{2}$ , then $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = 4 x y$ — same as above, so statement 2 is true.

Short trick: Polynomials are smooth, so the order of mixed differentiation never matters.

अवधारणा: सतत द्वितीय आंशिक अवकलज वाले फलन में मिश्रित अवकलज बराबर होते हैं (श्वार्ज़/क्लेरो प्रमेय)।

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 x^{2} y$ , अतः $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = 4 x y$ — यह अचर 4 नहीं है। कथन 1 असत्य।
$\frac{\partial z}{\partial x} = 2 x y^{2}$ , अतः $\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = 4 x y$ — दोनों बराबर, कथन 2 सत्य।

याद रखें: बहुपद फलनों में मिश्रित अवकलन का क्रम बदलने से परिणाम नहीं बदलता।

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Q2.

The value of

lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x}

सीमा सीमा

lim_{x \to 0} lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x}

का मान होगा :

A0
B1
C2
D $\infty$

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Concept: In a repeated limit the inner limit is taken first, with the outer variable held fixed.

For fixed $x \neq 0$ , $\sin \frac{1}{x}$ is a bounded constant, so $lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x} = 0$ .
Then $lim_{x \to 0} 0 = 0$ .

Short trick: Inner limit first: y → 0 kills everything because |sin| ≤ 1.

अवधारणा: पुनरावृत्त सीमा में पहले भीतरी सीमा ली जाती है, बाहरी चर स्थिर मानकर।

स्थिर $x \neq 0$ के लिए $\sin \frac{1}{x}$ एक परिबद्ध अचर है, अतः $lim_{y \to 0} y \sin \frac{1}{x} = 0$ ।
फिर $lim_{x \to 0} 0 = 0$ ।

याद रखें: पहले y → 0; |sin| ≤ 1 होने से गुणनफल शून्य।

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Q3.

The value of determinant

| \begin{matrix} a - b & b - c & c - a \\ b - c & c - a & a - b \\ c - a & a - b & b - c \end{matrix} |

will be

सारणिक

| \begin{matrix} a - b & b - c & c - a \\ b - c & c - a & a - b \\ c - a & a - b & b - c \end{matrix} |

का मान होगा ।

A1
B $(a + b + c)$
C $- (a + b + c)$
D0

Show answer

Concept: If one row (or column) of a determinant becomes all zeros after an elementary operation, the determinant is 0.

Apply $C_{1} \to C_{1} + C_{2} + C_{3}$ .
Each entry of the new first column is $(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ .
A column of zeros gives determinant 0.

Short trick: Entries in every row add to zero ⇒ determinant = 0.

अवधारणा: यदि प्रारम्भिक संक्रिया के बाद कोई पंक्ति/स्तम्भ पूरी तरह शून्य हो जाए तो सारणिक का मान 0 होता है।

$C_{1} \to C_{1} + C_{2} + C_{3}$ लें।
नए प्रथम स्तम्भ का प्रत्येक अवयव $(a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$ है।
शून्य स्तम्भ होने से सारणिक = 0।

याद रखें: हर पंक्ति का योग शून्य ⇒ सारणिक शून्य।

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Q4.

The value of Integration

\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \sin x}

is :

समाकलन

\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \sin x}

का मान है :

A0
B1
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{3}{2}$

Show answer

Concept: Multiply by the conjugate: $\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x - \sec x \tan x$ .

An antiderivative is $\tan x - \sec x = \frac{\sin x - 1}{\cos x}$ .
As $x \to π / 2$ : $\frac{\sin x - 1}{\cos x} \to 0$ ; at $x = 0$ it equals $- 1$ .
Value $= 0 - (- 1) = 1$ .

Short trick: Use $x \to π / 2 - x$ : the integral equals $\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos x} = [\tan \frac{x}{2}]_{0}^{π / 2} = 1$ .

अवधारणा: संयुग्मी से गुणा करें: $\frac{1}{1 + \sin x} = \frac{1 - \sin x}{\cos^{2} x} = \sec^{2} x - \sec x \tan x$ ।

इसका समाकल $\tan x - \sec x = \frac{\sin x - 1}{\cos x}$ है।
$x \to π / 2$ पर यह 0 की ओर, तथा $x = 0$ पर $- 1$ है।
मान $= 0 - (- 1) = 1$ ।

याद रखें: $x \to π / 2 - x$ रखने पर $\int_{0}^{π / 2} \frac{d x}{1 + \cos x} = [\tan \frac{x}{2}]_{0}^{π / 2} = 1$ ।

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Q5.

With reference to Mean value theorem, which of the following statements is/are correct ?
1. In Mathematics, the Mean value theorem states, that for a given planar arc between two end points, there exists atleast one point at which the tangent to the arc is parallel to the secant through its end points.
2. It is one of the most important results, in real analysis.
Select the correct answers :

माध्य मान प्रमेय के संदर्भ में, निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1. गणित में माध्यमान प्रमेय के अनुसार, किन्हीं दो बिन्दुओं के मध्य दिये गये किसी चाप पर कम से कम एक ऐसा बिन्दु विद्यमान होता है, जिस पर चाप की स्पर्श रेखा अन्तक बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के समान्तर होती है ।
2. यह रियल अनालिसिस में, अत्यंत महत्वपूर्ण सिद्धांतों में से एक है ।
सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Lagrange's MVT: if f is continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), some c in (a, b) has $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

Geometrically, the tangent at c is parallel to the chord (secant) joining the end points — statement 1 is exactly this.
MVT underlies monotonicity tests, Taylor's theorem and error bounds — a central result of real analysis, so statement 2 is also true.

Short trick: Tangent ∥ chord = Mean Value Theorem (Rolle's theorem is the special case f(a) = f(b)).

अवधारणा: लाग्रांज MVT: f यदि [a, b] पर सतत तथा (a, b) में अवकलनीय हो, तो किसी c के लिए $f^{'} (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ।

ज्यामितीय रूप में c पर स्पर्श रेखा अन्त-बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर होती है — यही कथन 1 है।
एकदिष्टता परीक्षण, टेलर प्रमेय आदि इसी पर आधारित हैं — अतः यह वास्तविक विश्लेषण का प्रमुख परिणाम है; कथन 2 भी सत्य।

याद रखें: स्पर्श रेखा ∥ जीवा = माध्य मान प्रमेय (रोल प्रमेय इसका विशेष रूप)।

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Q6.

Which of the following is Not correctly matched ?
1. (Interpolation/Extrapolation) – (There is no sudden rise or fall independent variable in given time)
2. (Lograng method of interpolation) – (The difference in values of independent variable is not the same)
3. (Direct Binomial Expansion method) – (The difference in the independent variable always is the same)
4. (Graphic method of interpolation) – (Parabolic curve method)

निम्न में से कौन सही सुमेलित नहीं है ?
1. (अन्तर्गणन/बाह्यगणन) – (दी हुई समया विधि में परतंत्र चर के मानों में आकस्मिक उतार या चढ़ाव नहीं है ।)
2. (अन्तर्गणन की लैगरेंज विधि) – (स्वतंत्र चर के मानों में असमान अन्तर है)
3. (अन्तर्गणन की प्रत्यक्ष द्विपद विस्तार विधि) – (स्वतंत्र चर के मानों में समान अन्तर है ।)
4. (अन्तर्गणन की बिन्दुरेखीय विधि) – (परवलय वक्र विधि)

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Concept: Interpolation assumes no sudden jumps in the data; methods are graphic or algebraic (binomial expansion, Newton, Lagrange, parabolic curve).

Pair 1: the basic assumption of interpolation/extrapolation — correct.
Pair 2: Lagrange's formula works for unequal intervals of the independent variable — correct.
Pair 3: direct binomial expansion needs equal intervals (equally spaced x) — correct.
Pair 4: the parabolic curve method is an algebraic method (fitting a parabola), not the graphic method — wrongly matched.

Short trick: Graphic = plot and read off; parabolic curve = algebraic fitting.

अवधारणा: अन्तर्गणन यह मानता है कि आँकड़ों में आकस्मिक उतार-चढ़ाव नहीं है; विधियाँ — बिन्दुरेखीय (ग्राफ) तथा बीजीय (द्विपद विस्तार, न्यूटन, लैगरेंज, परवलय वक्र)।

युग्म 1: अन्तर्गणन/बाह्यगणन की मूल मान्यता — सही।
युग्म 2: लैगरेंज सूत्र स्वतंत्र चर के असमान अन्तरालों हेतु — सही।
युग्म 3: द्विपद विस्तार विधि में समान अन्तराल आवश्यक — सही।
युग्म 4: परवलय वक्र विधि बीजीय विधि है, बिन्दुरेखीय नहीं — गलत सुमेलन।

याद रखें: ग्राफ विधि = आलेख से पढ़ना; परवलय वक्र = बीजीय विधि।

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Q7.

If, A is a (5×5) matrix and the dimension of the solution space of

A X = 0

, is atleast two, then
I. Rank

(A^{2}) \leq 3

II. Rank

(A^{2}) \leq 2

III. Rank

(A^{2}) \leq 5

IV. Det

(A^{2}) = 0

Select correct answer :

यदि A एक (5×5) का आव्यूह है तथा

A X = 0

के हल समष्टि की न्यूनतम विमा 2 है, तो
I. कोटि

(A^{2}) \leq 3

II. कोटि

(A^{2}) \leq 2

III. कोटि

(A^{2}) \leq 5

IV. सारणिक मान

(A^{2}) = 0

सही उत्तर चुनिए :

AThe information is insufficientसूचना अपर्याप्त है
BIII, IV
CI, IV
DII, IV

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Concept: Rank–nullity: rank(A) + nullity(A) = n; rank(A²) ≤ rank(A).

Nullity ≥ 2 ⇒ rank(A) ≤ 3 ⇒ rank $(A^{2})$ ≤ 3: I is true.
A is singular ⇒ det $(A^{2}) = (det A)^{2} = 0$ : IV is true.
III (rank $(A^{2})$ ≤ 5) is also true — it holds for every 5×5 matrix.
II is false: A = diag(1, 1, 1, 0, 0) has nullity 2 but rank $(A^{2}) = 3$ .
So the true statements are I, III and IV. Option (B) 'III, IV' and option (C) 'I, IV' both list only true statements, and no option lists all three — there is no single correct option.

Short trick: Nullity k in an n×n matrix ⇒ rank ≤ n − k and determinant = 0.

अवधारणा: कोटि–शून्यता प्रमेय: rank(A) + nullity(A) = n; rank(A²) ≤ rank(A)।

शून्यता ≥ 2 ⇒ rank(A) ≤ 3 ⇒ rank $(A^{2})$ ≤ 3: कथन I सत्य।
A अव्युत्क्रमणीय ⇒ det $(A^{2}) = (det A)^{2} = 0$ : कथन IV सत्य।
कथन III (rank $(A^{2})$ ≤ 5) भी सत्य है — यह हर 5×5 आव्यूह पर लागू है।
कथन II असत्य: A = diag(1, 1, 1, 0, 0) की शून्यता 2 है पर rank $(A^{2}) = 3$ ।
अतः I, III, IV सत्य हैं। विकल्प (B) 'III, IV' और (C) 'I, IV' दोनों में केवल सत्य कथन हैं और तीनों एक साथ किसी विकल्प में नहीं — कोई एक विकल्प सही नहीं बनता।

याद रखें: n×n आव्यूह की शून्यता k ⇒ कोटि ≤ n − k तथा सारणिक = 0।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsRank–nullity theoremUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q8.

If a random variable x takes the values 1, 2 and 4 with respective probabilities

\frac{1}{4}, \frac{1}{2}

and

\frac{1}{4}

, then the Mathematical expectation of

\frac{1}{x^{2}}

will be

यदि एक यादृच्छिक चर x के मानों 1, 2 तथा 4 के ग्रहण करने की प्रायिकतायें क्रमशः

\frac{1}{4}, \frac{1}{2}

तथा

\frac{1}{4}

हों, तो

\frac{1}{x^{2}}

की गणितीय प्रत्याशा होगी :

A31/64
B17/64
C25/64
D27/64

Show answer

Concept: $E [g (X)] = \sum g (x_{i}) p_{i}$ .

$E (\frac{1}{X^{2}}) = 1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}$
$= \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{1}{64} = \frac{25}{64}$ .

Short trick: Write every term over 64 before adding.

अवधारणा: $E [g (X)] = \sum g (x_{i}) p_{i}$ ।

$E (\frac{1}{X^{2}}) = 1 \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4}$
$= \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{1}{64} = \frac{25}{64}$ ।

याद रखें: सभी पदों का हर 64 बनाकर जोड़ें।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMathematical expectationUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q9.

If the m.g.f. of a random variable x is given by

M_{x} (t) = \frac{1}{6^{4}} (3 + e^{t})^{3}; - \infty < t < \infty

then the variance of x,

v (x)

will be

यदि एक यादृच्छिक चर x का आघूर्ण जनक फलन है

M_{x} (t) = \frac{1}{6^{4}} (3 + e^{t})^{3}; - \infty < t < \infty

तो x का प्रसरण

v (x)

होगा

A $\frac{9}{16}$
B $\frac{3}{4}$
C $\frac{3}{16}$
D $\frac{1}{16}$

Show answer

Concept: Any m.g.f. must satisfy $M_{x} (0) = E (e^{0}) = 1$ .

As printed, $M_{x} (0) = \frac{(3 + 1)^{3}}{6^{4}} = \frac{64}{1296} = \frac{4}{81} \neq 1$ , so the given function is not the m.g.f. of any random variable.
Taking it literally, $E (x) = M^{'} (0) = \frac{48}{1296} = \frac{1}{27}$ and $E (x^{2}) = M^{″} (0) = \frac{72}{1296} = \frac{1}{18}$ , giving $v (x) = \frac{1}{18} - \frac{1}{729} \approx 0.054$ — none of the options.
Only with the constant changed to $\frac{1}{4^{3}}$ does it become ${(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} e^{t})}^{3}$ , i.e. B(3, 1/4) with variance $n p q = \frac{9}{16}$ (option A). That needs a change in the printed data, so no option is correct as printed.

Short trick: First test M(0) = 1; then $(q + p e^{t})^{n}$ ⇒ Binomial, V = npq.

अवधारणा: किसी भी आघूर्ण जनक फलन के लिए $M_{x} (0) = 1$ होना आवश्यक है।

छपे रूप में $M_{x} (0) = \frac{(3 + 1)^{3}}{6^{4}} = \frac{64}{1296} = \frac{4}{81} \neq 1$ , अतः यह किसी यादृच्छिक चर का आघूर्ण जनक फलन नहीं हो सकता।
इसे जैसा है वैसा लेने पर $E (x) = \frac{1}{27}$ , $E (x^{2}) = \frac{1}{18}$ और $v (x) = \frac{1}{18} - \frac{1}{729} \approx 0.054$ — कोई विकल्प नहीं।
अचर को $\frac{1}{4^{3}}$ मानने पर ही यह ${(\frac{3}{4} + \frac{1}{4} e^{t})}^{3}$ अर्थात B(3, 1/4) बनता है, जिसका प्रसरण $n p q = \frac{9}{16}$ (विकल्प A) है। इसके लिए छपे आँकड़े बदलने पड़ते हैं, अतः छपे रूप में कोई विकल्प सही नहीं।

याद रखें: पहले M(0) = 1 जाँचें; फिर $(q + p e^{t})^{n}$ ⇒ द्विपद, V = npq।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMoment generating functionUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q10.

One of the necessary conditions for using t-test, in testing significance of difference between means of two normal populations

N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

and

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

is :

t-परीक्षण के द्वारा दो प्रासामान्य समष्टियों

N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

तथा

N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

के माध्यों के अन्तर की सार्थकता परीक्षण हेतु आवश्यक प्रतिबन्धों में एक होता है :

A $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$
B $σ_{2}^{2} < σ_{1}^{2}$
C $σ_{1}^{2} \geq σ_{2}^{2}$
D $σ_{1}^{2} \neq σ_{2}^{2}$

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Concept: The two-sample (Student's) t-test pools the two sample variances, which is valid only when the population variances are equal.

Assumptions: normal populations, independent random samples, and $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ (homoscedasticity).
Pooled $S^{2} = \frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}$ , $t = \frac{{\bar{x}}_{1} - {\bar{x}}_{2}}{S \sqrt{1 / n_{1} + 1 / n_{2}}}$ with $n_{1} + n_{2} - 2$ d.f.
Equality of variances is checked first with the F-test; if unequal, the Behrens–Fisher problem arises (Welch/Cochran test).

Short trick: F-test first (equal variances?), then pooled t-test.

अवधारणा: दो प्रतिदर्श t-परीक्षण में दोनों प्रसरणों को संयोजित (pooled) किया जाता है, जो समष्टि प्रसरण बराबर होने पर ही वैध है।

मान्यताएँ: प्रसामान्य समष्टियाँ, स्वतंत्र यादृच्छिक प्रतिदर्श तथा $σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}$ ।
$S^{2} = \frac{(n_{1} - 1) s_{1}^{2} + (n_{2} - 1) s_{2}^{2}}{n_{1} + n_{2} - 2}$ , स्वातंत्र्य कोटि $n_{1} + n_{2} - 2$ ।
प्रसरणों की समानता पहले F-परीक्षण से जाँची जाती है; असमान होने पर बेहरेन्स–फिशर समस्या।

याद रखें: पहले F-परीक्षण, फिर संयोजित t-परीक्षण।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsTwo-sample t-testUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q11.

Match List-I with List-II and select the correct answer using the code given below the list :

	List-I		List-II
(a)	Testing significance of difference between two means.	(1)	t-test
(b)	Testing the homogeneity of several (>2) variance.	(2)	$χ^{2}$ -test
(c)	Testing significance of difference between $K (K > 2)$ means.	(3)	Bartlett's $χ^{2}$ -test
(d)	Testing goodness of fd.	(4)	F-test

Code :

सूची-I का सूची-II से मिलान कीजिये, तथा सूचियों के नीचे दिये कूट के प्रयोग से सही उत्तर चुनिये :

	सूची-I		सूची-II
(a)	दो माध्यों के अन्तर की सार्थकता परीक्षण करना ।	(1)	t-परीक्षण
(b)	विभिन्न (>2) प्रसरणों की समांगता का परीक्षण करना ।	(2)	$χ^{2}$ -परीक्षण
(c)	$K (K > 2)$ माध्यों के अन्तर की सार्थकता परीक्षण करना ।	(3)	बार्टलेट का $χ^{2}$ परीक्षण
(d)	आसंजन के सौष्ठव की जाँच करना	(4)	F-परीक्षण

कूट :

A(a)-(1), (b)-(3), (c)-(4), (d)-(2)
B(a)-(2), (b)-(4), (c)-(1), (d)-(3)
C(a)-(4), (b)-(1), (c)-(3), (d)-(2)
D(a)-(3), (b)-(1), (c)-(4), (d)-(2)

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Concept: Each classical test has its own job.

Two means → t-test: (a)-(1).
Homogeneity of several variances → Bartlett's χ² test: (b)-(3).
Several (k > 2) means → ANOVA F-test: (c)-(4).
Goodness of fit of a frequency distribution → χ² test: (d)-(2).

Short trick: t = 2 means, F = many means, Bartlett = many variances, χ² = fit.

अवधारणा: हर परीक्षण का अपना उपयोग है।

दो माध्य → t-परीक्षण: (a)-(1)।
कई प्रसरणों की समांगता → बार्टलेट χ²: (b)-(3)।
k > 2 माध्य → प्रसरण विश्लेषण F-परीक्षण: (c)-(4)।
आसंजन सौष्ठव → χ² परीक्षण: (d)-(2)।

याद रखें: t = दो माध्य, F = अनेक माध्य, बार्टलेट = अनेक प्रसरण, χ² = आसंजन।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsTests of significanceUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q12.

If, from a bag of 15 Red and 5 Green Balls, two balls are taken one by one and with replacement, then which one of the following is not correct ?

यदि 15 लाल तथा 5 हरी गेंदों वाले किसी झोले से, प्रतिस्थापन सहित एक एक करके दो गेंदें निकाली जाती हैं, तो निम्न में से कौन सही नहीं है ?

AProbability that both are Red is 9/16दोनों गेंदों के लाल होने की प्रायिकता है, 9/16
BProbabilities that both are Green is 1/16दोनों गेंदों के हरी होने की प्रायिकता है, 1/16
CProbability that both are of same colour is 5/8दोनों गेंदों के समान रंग के होने की प्रायिकता है, 5/8
DProbability that both are of different colours is 5/16दोनों गेंदों के भिन्न-भिन्न रंगों के होने की प्रायिकता है, 5/16

Show answer

Concept: With replacement the two draws are independent: P(R) = 15/20 = 3/4, P(G) = 1/4.

P(both red) = (3/4)² = 9/16 ✓; P(both green) = (1/4)² = 1/16 ✓.
P(same colour) = 9/16 + 1/16 = 10/16 = 5/8 ✓.
P(different colours) = 1 − 5/8 = 3/8 (= 2·3/4·1/4 = 6/16), not 5/16 ✗.

Short trick: Same + different must add to 1: 5/8 + 5/16 ≠ 1, so (D) is the odd one.

अवधारणा: प्रतिस्थापन सहित दोनों निकाल स्वतंत्र हैं: P(लाल) = 3/4, P(हरी) = 1/4।

दोनों लाल = 9/16 ✓; दोनों हरी = 1/16 ✓।
समान रंग = 10/16 = 5/8 ✓।
भिन्न रंग = 1 − 5/8 = 3/8 (= 6/16), 5/16 नहीं ✗।

याद रखें: समान + भिन्न का योग 1 होना चाहिए; 5/8 + 5/16 ≠ 1।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsProbability with replacementUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q13.

The outcomes of an experiment classified as success

(A)

(\bar{A})

failure will follow a Bernoulli distribution if :

किसी प्रयोग का परिणाम, जो सफलता

(A)

तथा असफलता

(\bar{A})

में बाँटा गया है, बरनौली बंटन प्राप्त करेगा यदि एवं केवल यदि :

A $P (A) = \frac{1}{2}$
B $P (A) = 0$
C $P (A) = 1$
D $P (A)$ remains constant in all trials $P (A)$ सभी अभिप्रेयाओं में स्थिर रहेगा

Show answer

Concept: Bernoulli trials: two outcomes, trials independent, and the probability of success p stays the same from trial to trial.

p need not be 1/2 — any 0 < p < 1 is allowed.
P(A) = 0 or 1 makes the outcome certain (degenerate), not a genuine chance experiment.
Constancy of P(A) across trials is the defining condition.

Short trick: Bernoulli = two outcomes + constant p + independence.

अवधारणा: बरनौली परीक्षण: दो परिणाम, स्वतंत्र परीक्षण तथा सफलता की प्रायिकता p हर परीक्षण में स्थिर।

p = 1/2 होना आवश्यक नहीं — 0 < p < 1 कोई भी।
P(A) = 0 या 1 से परिणाम निश्चित (अपभ्रष्ट) हो जाता है।
सभी परीक्षणों में P(A) का स्थिर रहना ही मूल शर्त है।

याद रखें: बरनौली = दो परिणाम + स्थिर p + स्वतंत्रता।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsBernoulli trialsUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q14.

If the random variables x, y and z have the means

μ_{x} = - 3

μ_{y} = 2

and

μ_{z} = 1

; variances

σ_{x}^{2} = 4, σ_{y}^{2} = 5

and

σ_{z}^{2} = 2

; The covariance of

cov (x, y) = - 1

cov (x, z) = - 2

and

cov (y, z) = 1

. Then mean and variance of

W = 3 z + y - 2 x

, will be.

यदि, यादृच्छिक चर x, y और z का माध्य क्रमशः

μ_{x} = - 3

μ_{y} = 2

तथा

μ_{z} = 1

है । प्रसरण

σ_{x}^{2} = 4, σ_{y}^{2} = 5

तथा

σ_{z}^{2} = 2

तथा सह प्रसरण

cov (x, y) = - 1

cov (x, z) = - 2

तथा

cov (y, z) = 1

है । तो,

W = 3 z + y - 2 x

का माध्यतथा प्रसरण होगा ।

A11 and 2911 तथा 29
B14 and 314 तथा 3
C3 and 363 तथा 36
D14 and 2614 तथा 26

Show answer

Concept: $E (a X + b Y + c Z) = a μ_{x} + b μ_{y} + c μ_{z}$ ; $V = a^{2} σ_{x}^{2} + b^{2} σ_{y}^{2} + c^{2} σ_{z}^{2} + 2 a b cov (x, y) + 2 a c cov (x, z) + 2 b c cov (y, z)$ .

Here a = −2 (x), b = 1 (y), c = 3 (z). Mean $= - 2 (- 3) + 2 + 3 (1) = 11$ .
Variance terms: $4 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 9 \cdot 2 = 39$ .
Covariance terms: $2 (- 2) (1) (- 1) = 4$ , $2 (- 2) (3) (- 2) = 24$ , $2 (1) (3) (1) = 6$ → total 34.
V(W) = 39 + 34 = 73. Only (A) has the right mean (11), but its variance 29 is wrong; no option gives (11, 73), so no option is correct as printed.

Short trick: Signs matter: multiply each covariance by 2 × both coefficients with their signs.

अवधारणा: $E (a X + b Y + c Z) = a μ_{x} + b μ_{y} + c μ_{z}$ ; $V = a^{2} σ_{x}^{2} + b^{2} σ_{y}^{2} + c^{2} σ_{z}^{2} + 2 a b cov (x, y) + 2 a c cov (x, z) + 2 b c cov (y, z)$ ।

यहाँ a = −2 (x), b = 1 (y), c = 3 (z)। माध्य $= 6 + 2 + 3 = 11$ ।
प्रसरण पद: $16 + 5 + 18 = 39$ ।
सहप्रसरण पद: $4 + 24 + 6 = 34$ ।
V(W) = 73। केवल (A) में माध्य 11 सही है पर प्रसरण 29 गलत; (11, 73) किसी विकल्प में नहीं, अतः छपे रूप में कोई विकल्प सही नहीं।

याद रखें: हर सहप्रसरण को 2 × दोनों गुणांकों (चिह्न सहित) से गुणा करें।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsMean and variance of a linear combinationUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q15.

α

and

β

are probability levels of Type-I and Type-II errors, respectively, then under Neyman-Pearson set-up, we :

यदि

α

तथा

β

क्रमशः प्रथम एवं द्वितीय प्रकार की त्रुटियों के प्रायिकता स्तर है, तो नेमन–पियरशन व्यवस्था के अन्तर्गत, हम

AMinimize $α$ and $β$ both $α$ तथा $β$ दोनों को न्यूनतम करते हैं ।
BFix $α$ and Minimize $(1 - β)$ $α$ को निर्धारित करके $(1 - β)$ को न्यूनतम करते हैं ।
CFix $β$ and Minimize $α$ $β$ को निर्धारित करके $α$ को न्यूनतम करते है ।
DFix $α$ and Minimize $β$ $α$ को निर्धारित करके $β$ को न्यूनतम करते हैं ।

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Concept: For a fixed sample size α and β cannot both be minimised; Neyman–Pearson fixes the size α and chooses the test with least β (maximum power 1 − β).

(A) is impossible simultaneously for fixed n.
(B) is the opposite of what we want — power (1 − β) is maximised, not minimised.
(C) reverses the roles; α (the more serious error) is the one fixed.

Short trick: Fix α, minimise β ⇔ most powerful test (NP lemma).

अवधारणा: निश्चित प्रतिदर्श आकार में α व β दोनों एक साथ न्यूनतम नहीं हो सकते; नेमन–पियर्सन α स्थिर कर न्यूनतम β (अधिकतम शक्ति 1 − β) वाला परीक्षण चुनते हैं।

(A) निश्चित n पर असम्भव।
(B) उल्टा है — शक्ति (1 − β) अधिकतम की जाती है।
(C) में भूमिकाएँ उलटी हैं; α स्थिर किया जाता है।

याद रखें: α स्थिर, β न्यूनतम ⇔ सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsNeyman–Pearson approachUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q16.

The pair of correct values of two regression coefficients, i.e., regression coefficient of y on x and that of x on y; is :

दो समाश्रयण गुणांकों अर्थात y का x पर तथा x का y पर; के सही मानों का युग्म होगा :

A $(- 2, \frac{1}{3})$
B $(3, \frac{1}{2})$
C $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$
D $(- 1, + 1)$

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Concept: $b_{y x} b_{x y} = r^{2} \leq 1$ and both coefficients have the same sign (the sign of r).

(A) and (D): opposite signs — impossible.
(B): 3 × 1/2 = 1.5 > 1 — impossible.
(C): $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \leq 1$ , same sign — valid (r ≈ 0.41).

Short trick: Same sign and product ≤ 1.

अवधारणा: $b_{y x} b_{x y} = r^{2} \leq 1$ तथा दोनों गुणांकों का चिह्न समान (r का चिह्न)।

(A) व (D): विपरीत चिह्न — असम्भव।
(B): 3 × 1/2 = 1.5 > 1 — असम्भव।
(C): गुणनफल 1/6 ≤ 1, समान चिह्न — मान्य।

याद रखें: समान चिह्न तथा गुणनफल ≤ 1।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsProperties of regression coefficientsUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q17.

With reference to coefficient of correlation (r) between two variables x and y which of the following statements is/are true ?
1.

- 1 \leq r \leq + 1

r = 0

, when two regression lines, i.e., regression line of y on x and that of x on y, are at right angles.

दो चरों x तथा y के सहसंबंध गुणांक (r) से सम्बन्धित निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1.

- 1 \leq r \leq + 1

r = 0

, जब दो समाश्रमण रेखायें अर्थात् y की x पर तथा x की y पर; लम्बवत् होती है ।

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Angle between regression lines: $\tan θ = \frac{1 - r^{2}}{| r |} \cdot \frac{σ_{x} σ_{y}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}$ .

By Cauchy–Schwarz, |r| ≤ 1 — statement 1 true.
When r = 0 the lines are $y = \bar{y}$ and $x = \bar{x}$ , i.e. perpendicular (tan θ → ∞) — statement 2 true.
When r = ±1 the two lines coincide.

Short trick: r = 0 ⇒ lines ⊥; r = ±1 ⇒ lines coincide.

अवधारणा: समाश्रयण रेखाओं के बीच कोण: $\tan θ = \frac{1 - r^{2}}{| r |} \cdot \frac{σ_{x} σ_{y}}{σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}}$ ।

कॉशी–श्वार्ज़ से |r| ≤ 1 — कथन 1 सत्य।
r = 0 पर रेखाएँ $y = \bar{y}$ तथा $x = \bar{x}$ , अर्थात् परस्पर लम्बवत् — कथन 2 सत्य।
r = ±1 पर दोनों रेखाएँ सम्पाती।

याद रखें: r = 0 ⇒ लम्बवत्; r = ±1 ⇒ सम्पाती।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsCorrelation and regression linesUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q18.

If, t is an unbiased estimator of

θ

then the minimum variance Bound (MVB) is obtained (for any

λ

free of sample-values), when :

यदि t,

θ

का एक अनभिनत आकलक है, तो किसी

λ

, जो कि प्रतिदर्श मानों से स्वतंत्र है, के लिये न्यूनतम प्रसरण प्रतिबन्ध प्राप्त होगा, तब :

A $\partial^{2} (\log L) / \partial θ^{2} = (\frac{t - θ}{λ})$
B $\partial (\log L) / \partial θ = (\frac{t}{θ})$
C $\partial^{2} (\log L) / \partial θ^{2} = (\frac{t - θ}{θ})$
D $\partial (\log L) / \partial θ = (\frac{t - θ}{λ})$

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Concept: Equality in the Cramér–Rao inequality holds iff the score is linear in t: $\frac{\partial \log L}{\partial θ} = \frac{t - θ}{λ (θ)}$ .

Then $V (t) = λ (θ)$ , the MVB itself.
The condition involves the first derivative (score), not the second derivative — (A) and (C) are out.
(B) has no (t − θ) term, so it does not give an unbiased MVB estimator.

Short trick: MVB ⇔ score = (t − θ)/λ.

अवधारणा: क्रेमर–राव असमिका में समता तभी जब स्कोर t में रैखिक हो: $\frac{\partial \log L}{\partial θ} = \frac{t - θ}{λ (θ)}$ ।

तब $V (t) = λ (θ)$ ही MVB है।
शर्त प्रथम अवकलज (स्कोर) पर है, द्वितीय पर नहीं — (A), (C) गलत।
(B) में (t − θ) पद नहीं है।

याद रखें: MVB ⇔ स्कोर = (t − θ)/λ।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsCramér–Rao minimum variance boundUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q19.

With reference to Rao-Blackwell Theorem, that if x and y are random variables, such that

E (y) = μ

and

var (y) = σ_{y}^{2}

and

E (y / x) = ϕ (x)

, then which of the following statements is/are correct ?
1.

E {ϕ (x)} = μ

V a r {ϕ (x)} \geq var (y)

Choose correct answer :

Rao-Blackwell प्रमेय के संदर्भ में, यदि x तथा y यादृच्छिक चर हैं, इस प्रकार कि

E (y) = μ

तथा

var (y) = σ_{y}^{2}

तथा

E (y / x) = ϕ (x)

तो निम्न कथनों में कौन सही है/हैं ?
1.

E {ϕ (x)} = μ

V a r {ϕ (x)} \geq var (y)

सही उत्तर चुनिये :

Aonly 1केवल 1
Bonly 2केवल 2
C1 and 2, Both1 तथा 2, दोनों
DNeither 1 nor 2ना तो 1 और ना 2

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Concept: Rao–Blackwell: conditioning on x keeps the mean and never increases the variance.

$E {ϕ (x)} = E {E (y | x)} = E (y) = μ$ — statement 1 true.
$V (y) = E {V (y | x)} + V {E (y | x)} \geq V {ϕ (x)}$ , so $V a r {ϕ (x)} \leq var (y)$ — statement 2 has the inequality reversed.

Short trick: Rao–Blackwellisation: same mean, smaller (or equal) variance.

अवधारणा: राव–ब्लैकवेल: x पर प्रतिबन्धित करने से माध्य वही रहता है और प्रसरण बढ़ता नहीं।

$E {ϕ (x)} = E {E (y | x)} = μ$ — कथन 1 सत्य।
$V (y) = E {V (y | x)} + V {ϕ (x)} \geq V {ϕ (x)}$ — अतः कथन 2 में असमिका उलटी है।

याद रखें: राव–ब्लैकवेलीकरण: माध्य वही, प्रसरण कम या बराबर।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsRao–Blackwell theoremUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)

Q20.

If,

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, is a random sample from a population

N (0, σ^{2})

, then the sufficient statistic for

σ^{2}

is :

यदि

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

, समष्टि

N (0, σ^{2})

से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, तो

σ^{2}

का पर्याप्त प्रतिदर्शन (statistic) होगा :

A $\sum x_{i}$
B $\sum x_{i}^{2}$
C $(\sum x_{i})^{2}$
DBoth (B) and (C)(B) तथा (C) दोनों

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Concept: Factorisation theorem: $L = (2 π σ^{2})^{- n / 2} \exp (- \frac{\sum x_{i}^{2}}{2 σ^{2}})$ depends on the data only through $\sum x_{i}^{2}$ .

So $T = \sum x_{i}^{2}$ is sufficient for $σ^{2}$ (mean known = 0).
$\sum x_{i}$ and $(\sum x_{i})^{2}$ lose the information in the spread, so they are not sufficient.

Short trick: Known mean 0 ⇒ sufficient statistic for variance is $\sum x_{i}^{2}$ .

अवधारणा: गुणनखण्ड प्रमेय: $L = (2 π σ^{2})^{- n / 2} \exp (- \frac{\sum x_{i}^{2}}{2 σ^{2}})$ आँकड़ों पर केवल $\sum x_{i}^{2}$ के माध्यम से निर्भर है।

अतः $\sum x_{i}^{2}$ , $σ^{2}$ हेतु पर्याप्त है।
$\sum x_{i}$ तथा $(\sum x_{i})^{2}$ पर्याप्त नहीं हैं।

याद रखें: ज्ञात माध्य 0 ⇒ प्रसरण हेतु पर्याप्त प्रतिदर्शज $\sum x_{i}^{2}$ ।

UPHESC Assistant Professor Agricultural StatisticsAgricultural StatisticsSufficient statisticUPHESC Assistant Professor Agricultural Statistics · Booklet 1A97 (Series A)