UPHESC Assistant Professor Mathematics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 PYQs

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Complete solved eBook Mock tests

70 questions in Mathematics.

Q1.

Given below are two statements, one is labeled as Assertion (A) and other is labeled as Reason (R).
Assertion (A) : Every cyclic group of prime order is a simple group.
Reason (R) : The order of a subgroup of a finite group divides the order of the group.
In the light of the above statements, choose the correct answer from the options given below :

नीचे दो कथन दिए गए हैं, एक को अभिकथन (A) और दूसरे को तर्क (R) कहा गया है ।
अभिकथन (A) : प्रत्येक अभाज्य कोटि का चक्रीय समूह एक सरल समूह होता है ।
तर्क (R) : एक परिमित समूह के उपसमूह की कोटि, समूह की कोटि को विभाजित करती है ।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में निम्नांकित विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुने :

ABoth (A) and (R) are correct and (R) is the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सही हैं और (R), (A) की सही व्याख्या है
BBoth (A) and (R) are correct but (R) is not the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सही हैं परन्तु (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है
C(A) is correct but (R) is not correct(A) सही है परन्तु (R) गलत है
D(A) is not correct but (R) is correct(A) गलत है परन्तु (R) सही है

Show answer

Concept: A group is simple if its only normal subgroups are ${e}$ and $G$ .

(R) is Lagrange's theorem – true.
If $| G | = p$ (prime), by Lagrange every subgroup has order 1 or $p$ , so the only subgroups (hence normal subgroups) are ${e}$ and $G$ .
So (A) is true and follows directly from (R).

Short trick: Prime order ⇒ only trivial subgroups (Lagrange) ⇒ simple.

अवधारणा: समूह सरल होता है यदि उसके केवल प्रसामान्य उपसमूह ${e}$ और $G$ हों।

(R) लैग्रांज प्रमेय है – सत्य।
$| G | = p$ (अभाज्य) हो तो लैग्रांज से हर उपसमूह की कोटि 1 या $p$ है, अतः केवल तुच्छ उपसमूह हैं।
इसलिए (A) सत्य है और सीधे (R) से निकलता है – (R) सही व्याख्या है।

याद रखें: अभाज्य कोटि ⇒ केवल तुच्छ उपसमूह ⇒ सरल समूह।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsLagrange's theorem, simple groupsUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q2.

Let G be a group and H be any subgroup of G. If N is any normal subgroup of G, then HN/N is isomorphic to

मान लीजिए कि G एक समूह है और H, G का कोई उपसमूह है । यदि N, G का कोई प्रसामान्य उपसमूह हो, तो HN/N समरूप होगा

A $H / H \cap N$ $H / H \cap N$ के
B $N / H \cap N$ $N / H \cap N$ के
C $G / H \cap N$ $G / H \cap N$ के
D $G / N$ $G / N$ के

Show answer

Concept: Second (diamond) isomorphism theorem: $H N / N ≅ H / (H \cap N)$ .

Define $ϕ : H \to H N / N$ , $ϕ (h) = h N$ ; it is an onto homomorphism.
$\ker ϕ = {h \in H : h \in N} = H \cap N$ .
First isomorphism theorem gives $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ .

Short trick: Diamond: 'top over N' ≅ 'H over the bottom ( $H \cap N$ )'.

अवधारणा: द्वितीय (डायमंड) तुल्याकारिता प्रमेय: $H N / N ≅ H / (H \cap N)$ ।

$ϕ : H \to H N / N$ , $ϕ (h) = h N$ एक आच्छादक समाकारिता है।
$\ker ϕ = H \cap N$ ।
प्रथम तुल्याकारिता प्रमेय से $H / (H \cap N) ≅ H N / N$ ।

याद रखें: डायमंड चित्र: ऊपर/N ≅ H/नीचे ( $H \cap N$ )।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsSecond isomorphism theoremUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q3.

How many generators does a cyclic group of order 8 have ?

कोटि 8 के चक्रीय समूह के कितने जनक होते हैं ?

Show answer

Concept: A cyclic group of order $n$ has $φ (n)$ generators.

In $Z_{8}$ , $k$ is a generator iff $gcd (k, 8) = 1$ .
$k = 1, 3, 5, 7$ → $φ (8) = 4$ .

Short trick: Generators = Euler phi of the order; $φ (2^{k}) = 2^{k - 1}$ .

अवधारणा: कोटि $n$ के चक्रीय समूह में $φ (n)$ जनक होते हैं।

$Z_{8}$ में $k$ जनक है यदि $gcd (k, 8) = 1$ ।
$k = 1, 3, 5, 7$ → $φ (8) = 4$ ।

याद रखें: जनकों की संख्या = कोटि का ऑयलर फाई फलन।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsGenerators of a cyclic groupUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q4.

The alternating group

A_{3}

on three symbols 1, 2, 3 is

तीन प्रतीकों 1, 2, 3 पर प्रत्यावर्ती समूह

A_{3}

हैं

A{I, (1 2)}
B{I, (1 3)}
C{I, (2 3)}
D{I, (1 2 3), (1 3 2)}

Show answer

Concept: $A_{n}$ = set of all even permutations of $S_{n}$ ; $| A_{n} | = n! / 2$ .

$| A_{3} | = 3! / 2 = 3$ , so options (A)–(C) (2 elements) are out.
Transpositions like (1 2) are odd; 3-cycles are even (product of 2 transpositions).
$A_{3} = {I, (1 2 3), (1 3 2)}$ .

Short trick: Even permutations only – a transposition is never in $A_{n}$ .

अवधारणा: $A_{n}$ = $S_{n}$ के सभी सम क्रमचयों का समूह; $| A_{n} | = n! / 2$ ।

$| A_{3} | = 3$ , अतः दो अवयव वाले विकल्प गलत हैं।
पक्षांतरण (1 2) विषम है; 3-चक्र सम है।
$A_{3} = {I, (1 2 3), (1 3 2)}$ ।

याद रखें: $A_{n}$ में कोई पक्षांतरण नहीं होता।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsAlternating groupUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q5.

The order of the permutation

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})

क्रमचय

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \end{matrix})

की कोटि है

Show answer

Concept: Order of a permutation = LCM of the lengths of its disjoint cycles.

$1 \to 1$ , $2 \to 3 \to 4 \to 2$ .
So the permutation is the 3-cycle $(2 3 4)$ .
Order = 3.

Short trick: Write disjoint cycles, take LCM of lengths.

अवधारणा: क्रमचय की कोटि = असंयुक्त चक्रों की लंबाइयों का ल.स.प.।

$1 \to 1$ , $2 \to 3 \to 4 \to 2$ ।
अतः क्रमचय 3-चक्र $(2 3 4)$ है।
कोटि = 3।

याद रखें: असंयुक्त चक्र लिखो, लंबाइयों का ल.स.प. लो।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsOrder of a permutationUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q6.

The degree of splitting field of

f (x) = x^{4} + x^{2} + 1 \in Q [x]

f (x) = x^{4} + x^{2} + 1 \in Q [x]

के विभाजन क्षेत्र का घात है

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Concept: Factor first; the roots here are roots of unity.

$x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .
Roots: $ω, ω^{2}$ (cube roots of unity) and $- ω, - ω^{2}$ (primitive 6th roots).
All lie in $Q (ω) = Q (\sqrt{- 3})$ , so degree $= 2$ .

Short trick: $x^{4} + x^{2} + 1 = \frac{x^{6} - 1}{x^{2} - 1}$ → only 3rd and 6th roots of unity → $Q (\sqrt{- 3})$ .

अवधारणा: पहले गुणनखंड करें; मूल इकाई के मूल हैं।

$x^{4} + x^{2} + 1 = (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ।
मूल: $\pm ω, \pm ω^{2}$ ।
सभी $Q (ω) = Q (\sqrt{- 3})$ में हैं, अतः घात 2।

याद रखें: $x^{4} + x^{2} + 1 = \frac{x^{6} - 1}{x^{2} - 1}$ ।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsSplitting fieldUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q7.

Let R be a commutative ring with unity. An ideal M of R is maximal ideal of R, iff R/M is

मान लीजिए कि R एकल के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है । R की एक गुणजावली M, R की अधिकतम गुणजावली है यदि और केवल यदि R/M है

Aan integral domainएक पूर्णांक प्रान्त
Ba Euclidean domainएक युक्लिडियन प्रान्त
Ca unique factorization domainएक अद्वितीय गुणनखण्ड प्रान्त
Da fieldएक क्षेत्र

Show answer

Concept: In a commutative ring with 1: $M$ maximal ⇔ $R / M$ is a field; $P$ prime ⇔ $R / P$ is an integral domain.

Integral domain characterises prime ideals, not maximal ones.
Euclidean domain / UFD are not the criterion.
Hence $R / M$ must be a field.

Short trick: Maximal ↔ Field, Prime ↔ Integral domain.

अवधारणा: एकल सहित क्रमविनिमेय वलय में: $M$ अधिकतम ⇔ $R / M$ क्षेत्र; $P$ अभाज्य ⇔ $R / P$ पूर्णांक प्रान्त।

पूर्णांक प्रान्त अभाज्य गुणजावली की पहचान है।
युक्लिडियन प्रान्त/UFD कसौटी नहीं हैं।
अतः $R / M$ क्षेत्र होना चाहिए।

याद रखें: अधिकतम ↔ क्षेत्र, अभाज्य ↔ पूर्णांक प्रान्त।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsMaximal idealsUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q8.

An operator T on a Hilbert space is self-adjoint if and only if for all x,

⟨ T x, x ⟩

कोई संकारक T हिलबर्ट समष्टि पर स्वयं संलग्न होगा यदि और केवल यदि सभी x के लिए

⟨ T x, x ⟩

है

A $∥ x ∥^{2}$
BPurely imaginaryविशुद्ध अधिकल्पित
CRealवास्तविक
DZero onlyकेवल शून्य

Show answer

Concept: On a complex Hilbert space, $T = T^{*}$ ⇔ $⟨ T x, x ⟩ \in R$ for all $x$ .

If $T = T^{*}$ : $⟨ T x, x ⟩ = ⟨ x, T x ⟩ = \overset{―}{⟨ T x, x ⟩}$ , so it is real.
Conversely, real values give $⟨ (T - T^{*}) x, x ⟩ = 0$ for all $x$ , hence $T = T^{*}$ (polarisation).
Purely imaginary ⇔ skew-adjoint; zero ⇔ $T = 0$ .

Short trick: Self-adjoint = 'real' operator: $⟨ T x, x ⟩$ real.

अवधारणा: सम्मिश्र हिल्बर्ट समष्टि पर $T = T^{*}$ ⇔ सभी $x$ के लिए $⟨ T x, x ⟩$ वास्तविक।

$T = T^{*}$ हो तो $⟨ T x, x ⟩ = \overset{―}{⟨ T x, x ⟩}$ , अतः वास्तविक।
विलोमतः वास्तविक मान से $⟨ (T - T^{*}) x, x ⟩ = 0$ , अतः $T = T^{*}$ ।
विशुद्ध अधिकल्पित ⇔ विषम-संलग्न।

याद रखें: स्वयं संलग्न संकारक 'वास्तविक संख्या' जैसा है।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsSelf-adjoint operatorsUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q9.

Arrange the following steps in a sequence.
I.

l_{2}

is a Topological space
II.

l_{2}

is a Hilbert space
III.

l_{2}

is a Banach space
IV.

l_{2}

is a Normed linear space
Choose the correct answer from the code given below :
Code :

निम्नलिखित चरणों को एक अनुक्रम में व्यवस्थित कीजिए ।
I.

l_{2}

एक संस्थितिक समष्टि है
II.

l_{2}

एक हिल्बर्ट समष्टि है
III.

l_{2}

एक बनाक समष्टि है
IV.

l_{2}

एक मानकित रैखिक समष्टि है
नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए :
कूट :

AI, II, IV, III
BI, IV, III, II
CII, III, IV, I
DI, III, II, IV

Show answer

Concept: Every Hilbert space is Banach, every Banach space is a normed linear space, and every normed space is (being metric) a topological space.

$l_{2}$ with inner product $\sum x_{i} {\bar{y}}_{i}$ is complete, so it is Hilbert (II) ⇒ Banach (III) ⇒ normed linear (IV) ⇒ topological (I).
Read from the most special to the most general, the sequence is II, III, IV, I – option (C).
Read as the steps of building up structure (topological → normed → complete → inner-product), the sequence is I, IV, III, II – option (B). This is equally valid: it is the same chain in the reverse direction.
The question does not say which direction is wanted, so both (B) and (C) are correct and the question is treated as a bonus. Options (A) and (D) break the chain and are wrong.

Short trick: Hilbert ⊂ Banach ⊂ Normed ⊂ Metric ⊂ Topological.

अवधारणा: हर हिल्बर्ट समष्टि बनाक है, हर बनाक समष्टि मानकित रैखिक समष्टि है, और हर मानकित समष्टि (दूरीक होने से) संस्थितिक समष्टि है।

आंतर गुणनफल $\sum x_{i} {\bar{y}}_{i}$ सहित $l_{2}$ पूर्ण है, अतः हिल्बर्ट (II) ⇒ बनाक (III) ⇒ मानकित (IV) ⇒ संस्थितिक (I)।
सबसे विशिष्ट से सबसे व्यापक की ओर पढ़ें तो क्रम II, III, IV, I – विकल्प (C)।
संरचना जोड़ते हुए (संस्थितिक → मानकित → पूर्ण → आंतर गुणनफल) पढ़ें तो क्रम I, IV, III, II – विकल्प (B)। यह भी उतना ही सही है – वही शृंखला उलटी दिशा में।
प्रश्न दिशा नहीं बताता, अतः (B) और (C) दोनों सही हैं और प्रश्न बोनस माना गया है। (A) और (D) शृंखला तोड़ते हैं – गलत।

याद रखें: हिल्बर्ट ⊂ बनाक ⊂ मानकित ⊂ दूरीक ⊂ संस्थितिक।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsHilbert, Banach and normed spacesUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q10.

The function f(x, y) defined by

f (x, y) = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

, when

(x, y) \neq 0

;

f (0, 0) = 0

f (x, y) = \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

, जब

(x, y) \neq (0, 0)

;

f (0, 0) = 0

द्वारा परिभाषित फलन f(x, y)

ANot continuous at (0, 0)(0, 0) पर सतत नहीं है
BDifferentiable at (0, 0)(0, 0) पर अवकलनीय है
CSuch that $f_{x} (0, 0)$ and $f_{y} (0, 0)$ do not existऐसा है कि $f_{x} (0, 0)$ और $f_{y} (0, 0)$ अस्तित्व में नहीं है
DContinuous but not differentiable at (0, 0)(0, 0) पर सतत है परन्तु अवकलनीय नहीं है

Show answer

Concept: Differentiable at 0 ⇔ $\frac{f (h, k) - f (0, 0) - h f_{x} - k f_{y}}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}} \to 0$ .

$| f | \leq \frac{r^{2} / 2}{r} = \frac{r}{2} \to 0$ → continuous.
$f (x, 0) = 0, f (0, y) = 0$ → $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ (exist).
Differentiability needs $\frac{h k}{h^{2} + k^{2}} \to 0$ ; on $k = h$ it is $\frac{1}{2}$ → not differentiable.

Short trick: Polar form: $f = \frac{r}{2} \sin 2 θ$ – continuous, but $f / r$ depends on θ ⇒ not differentiable.

अवधारणा: मूलबिंदु पर अवकलनीयता ⇔ $\frac{f (h, k) - h f_{x} - k f_{y}}{\sqrt{h^{2} + k^{2}}} \to 0$ ।

$| f | \leq r / 2 \to 0$ → सतत।
$f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ विद्यमान हैं।
$\frac{h k}{h^{2} + k^{2}}$ , $k = h$ पर $\frac{1}{2}$ → अवकलनीय नहीं।

याद रखें: ध्रुवीय रूप: $f = \frac{r}{2} \sin 2 θ$ ।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsContinuity and differentiability (two variables)UPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q11.

What is the interval in which the series

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2} x}

is uniformly convergent ?

वह कौन-सा अन्तराल है जिसमें श्रेणी

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2} x}

एकसमान रूप से अभिसारी है ?

A $(0, \frac{1}{4})$
B $(0, \frac{1}{2})$
C(0, 1)
D $[1, \infty)$

Show answer

Concept: Weierstrass M-test; near $x = 0$ the terms do not go to 0 uniformly.

On $[1, \infty)$ : $\frac{1}{1 + n^{2} x} \leq \frac{1}{n^{2}} = M_{n}$ , $\sum M_{n} < \infty$ → uniformly convergent.
On $(0, a)$ : $sup_{x} \frac{1}{1 + n^{2} x} = 1$ for each $n$ , so $u_{n} ↛ 0$ uniformly → not uniformly convergent.
Hence only $[1, \infty)$ works.

Short trick: Uniform convergence needs $sup | u_{n} | \to 0$ ; intervals touching 0 fail.

अवधारणा: वायरस्ट्रास M-परीक्षण; $x = 0$ के पास पद एकसमान रूप से 0 नहीं होते।

$[1, \infty)$ पर $\frac{1}{1 + n^{2} x} \leq \frac{1}{n^{2}}$ , $\sum \frac{1}{n^{2}}$ अभिसारी → एकसमान अभिसरण।
$(0, a)$ पर हर $n$ के लिए $sup = 1$ → एकसमान नहीं।
अतः केवल $[1, \infty)$ ।

याद रखें: 0 को छूने वाले अंतराल असफल होते हैं।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsUniform convergence of seriesUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q12.

Arrange the following in a sequence.
I.

{a_{n}}

is a Cauchy sequence
II.

{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}

is convergent
III.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

is convergent
IV.

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

Choose the correct answer from the code given below :
Code :

निम्नलिखित को एक अनुक्रम में व्यवस्थित कीजिए ।
I.

{a_{n}}

एक कौशी अनुक्रम है
II.

{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}

अभिसारी है
III.

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

अभिसारी है
IV.

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0

नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए :
कूट :

AI, II, IV, III
BI, IV, III, II
CII, III, IV, I
DI, III, II, IV

Show answer

Concept: A series converges by definition when its sequence of partial sums converges.

II (partial sums converge) ⇔ III ( $\sum a_{n}$ converges).
III ⇒ IV: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \to 0$ .
IV ⇒ I: $a_{n}$ converges (to 0), and every convergent sequence in $R$ is Cauchy. Chain: II, III, IV, I.

Short trick: Partial sums → series → $n$ th term → 0 → Cauchy.

अवधारणा: श्रेणी अभिसारी है जब उसके आंशिक योगों का अनुक्रम अभिसारी हो।

II ⇔ III।
III ⇒ IV: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \to 0$ ।
IV ⇒ I: $a_{n}$ अभिसारी है, अतः कौशी। क्रम: II, III, IV, I।

याद रखें: आंशिक योग → श्रेणी → $n$ वाँ पद → 0 → कौशी।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsConvergence of series and sequencesUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q13.

The maximum value of

\sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x + y)

is attained at

\sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x + y)

का अधिकतम मान प्राप्त होता है

A $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ पर
B $(\frac{π}{3}, \frac{π}{3})$ $(\frac{π}{3}, \frac{π}{3})$ पर
C $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3})$ $(\frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3})$ पर
D $(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4})$ $(\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4})$ पर

Show answer

Concept: Set $f_{x} = f_{y} = 0$ and use the second-derivative test.

$f_{x} = \sin y \sin (2 x + y) = 0$ , $f_{y} = \sin x \sin (x + 2 y) = 0$ → $2 x + y = π, x + 2 y = π$ → $x = y = π / 3$ .
$f (π / 3, π / 3) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ (max; $r t - s^{2} > 0, r < 0$ ).
At $(2 π / 3, 2 π / 3)$ the value is $- \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ (minimum).

Short trick: Symmetric function → try $x = y$ ; 'equilateral triangle' angles $π / 3$ give max.

अवधारणा: $f_{x} = f_{y} = 0$ रखकर द्वितीय अवकलज परीक्षण।

$2 x + y = π, x + 2 y = π$ → $x = y = π / 3$ ।
$f = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ (उच्चिष्ठ)।
$(2 π / 3, 2 π / 3)$ पर निम्निष्ठ $- \frac{3 \sqrt{3}}{8}$ ।

याद रखें: समबाहु त्रिभुज के कोण $π / 3$ पर अधिकतम।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsMaxima of functions of two variablesUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q14.

Given below are two statements, one is labeled as Assertion (A) and other is labeled as Reason (R).
Assertion (A) : The series

\sum u_{n}

, where

u_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} + 3^{n}}

is divergent.
Reason (R) :

lim_{n \to \infty} u_{n} \neq 0

.
In the light of the above statements, choose the correct answer from the options given below :

नीचे दो कथन दिए गए हैं, एक को अभिकथन (A) और दूसरे को तर्क (R) कहा गया है ।
अभिकथन (A) : श्रेणी

\sum u_{n}

, जहाँ

u_{n} = \frac{3^{n}}{2^{n} + 3^{n}}

, अपसारी है ।
तर्क (R) :

lim_{n \to \infty} u_{n} \neq 0

.
उपर्युक्त कथनों के आलोक में निम्नांकित विकल्पों में से सर्वाधिक उपयुक्त उत्तर चुनें :

ABoth (A) and (R) are correct and (R) is the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सही हैं और (R), (A) की सही व्याख्या है
BBoth (A) and (R) are correct but (R) is not the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सही हैं परन्तु (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है
C(A) is correct but (R) is not correct(A) सही है परन्तु (R) गलत है
D(A) is not correct but (R) is correct(A) गलत है परन्तु (R) सही है

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Concept: If $u_{n} ↛ 0$ then $\sum u_{n}$ diverges.

$u_{n} = \frac{1}{(2 / 3)^{n} + 1} \to 1 \neq 0$ → (R) true.
By the $n$ th-term test the series diverges → (A) true.
(R) is exactly the reason for (A).

Short trick: Divide by the dominant term $3^{n}$ .

अवधारणा: यदि $u_{n} ↛ 0$ तो $\sum u_{n}$ अपसारी।

$u_{n} = \frac{1}{(2 / 3)^{n} + 1} \to 1 \neq 0$ → (R) सत्य।
n-वाँ पद परीक्षण से श्रेणी अपसारी → (A) सत्य।
(R), (A) की सही व्याख्या है।

याद रखें: प्रभावी पद $3^{n}$ से भाग दें।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsnth term test for divergenceUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q15.

The sequence

{f_{n}}

, where

f_{n} (x) = n x e^{- n x^{2}}

converges uniformly on

अनुक्रम

{f_{n}}

, जहाँ

f_{n} (x) = n x e^{- n x^{2}}

एक समान अभिसरण करेगा

A[0, 1][0, 1] पर
B[0, 2][0, 2] पर
C[0, 3][0, 3] पर
D[1, 2][1, 2] पर

Show answer

Concept: $f_{n} \to f$ uniformly ⇔ $M_{n} = sup | f_{n} - f | \to 0$ .

Pointwise limit is 0 for every $x \geq 0$ .
$f_{n}$ has its maximum at $x = 1 / \sqrt{2 n}$ with value $\sqrt{n / 2} e^{- 1 / 2} \to \infty$ ; this point lies in any interval starting at 0 → not uniform on [0,1], [0,2], [0,3].
On [1,2], $f_{n}$ is decreasing, so $M_{n} = n e^{- n} \to 0$ → uniform.

Short trick: A 'moving hump' near 0 kills uniform convergence; stay away from 0.

अवधारणा: एकसमान अभिसरण ⇔ $M_{n} = sup | f_{n} - f | \to 0$ ।

बिंदुवार सीमा 0 है।
$x = 1 / \sqrt{2 n}$ पर उच्चिष्ठ $\sqrt{n / 2} e^{- 1 / 2} \to \infty$ ; यह बिंदु 0 से शुरू हर अंतराल में है।
[1,2] पर $M_{n} = n e^{- n} \to 0$ → एकसमान।

याद रखें: 0 के पास 'चलता कूबड़' एकसमानता नष्ट करता है।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsUniform convergence of sequencesUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q16.

The nullity of the linear transformation

T : V_{3} (F) \to V_{2} (F)

given by

T (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{2}, a_{3})

T (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{2}, a_{3})

द्वारा दिये गये रैखिक रूपान्तरण

T : V_{3} (F) \to V_{2} (F)

की शून्यता है

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Concept: Nullity = dim ker T; rank + nullity = dim domain.

$\ker T = {(a_{1}, 0, 0)}$ , spanned by $(1, 0, 0)$ .
Nullity $= 1$ (rank $= 2$ , $2 + 1 = 3$ ✓).

Short trick: Count the 'lost' coordinates: only $a_{1}$ is lost.

अवधारणा: शून्यता = $\ker T$ की विमा; कोटि + शून्यता = प्रांत की विमा।

$\ker T = {(a_{1}, 0, 0)}$ ।
शून्यता $= 1$ (कोटि 2)।

याद रखें: केवल $a_{1}$ 'खोता' है।

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Q17.

If A =

[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 3 & 0 & - 4 \\ 2 & 1 & 3 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 & - 1 \end{matrix}]

, then the rank of the matrix A is

यदि A =

[\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 0 \\ - 1 & 3 & 0 & - 4 \\ 2 & 1 & 3 & - 2 \\ 1 & 1 & 1 & - 1 \end{matrix}]

हो, तो आव्यूह A की कोटि है

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Concept: Row-reduce and count non-zero rows.

$R_{2} + R_{1}$ , $R_{3} - 2 R_{1}$ , $R_{4} - R_{1}$ give rows $(0, 5, - 1, - 4)$ , $(0, - 3, 5, - 2)$ , $(0, - 1, 2, - 1)$ .
Using $(0, - 1, 2, - 1)$ as pivot: $R_{2} + 5 R_{4} \to (0, 0, 9, - 9)$ and $R_{3} - 3 R_{4} \to (0, 0, - 1, 1)$ – proportional, so one row becomes zero.
Rank $= 3$ .

Short trick: First check $| A |$ : zero ⇒ rank < 4; then find one non-zero 3×3 minor.

अवधारणा: पंक्ति-संक्रिया से सोपान रूप बनाकर अशून्य पंक्तियाँ गिनें।

$R_{2} + R_{1}$ , $R_{3} - 2 R_{1}$ , $R_{4} - R_{1}$ के बाद तीन पंक्तियाँ बचती हैं।
$(0, - 1, 2, - 1)$ से: $(0, 0, 9, - 9)$ व $(0, 0, - 1, 1)$ समानुपाती – एक पंक्ति शून्य हो जाती है।
कोटि $= 3$ ।

याद रखें: पहले $| A |$ देखें: शून्य ⇒ कोटि < 4।

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Q18.

If A =

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

, then the eigenvalues of A are

यदि A =

[\begin{matrix} 1 & - 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}]

हो, तो A के अभिलक्षणिक मान है

A $1, 2, 2 \sqrt{2}$
B $1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$
C1, 1, 1
D $1, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

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Concept: Solve $| A - λ I | = 0$ ; expand along the row with zeros.

Expanding along row 2: $(1 - λ) [(1 - λ)^{2} - 2] = 0$ .
$λ = 1$ or $(1 - λ)^{2} = 2$ → $λ = 1 \pm \sqrt{2}$ .
Check: sum $= 3 = trace$ ✓.

Short trick: Trace test: eigenvalue sum must be 3 – only (B) and (C) pass; det $= - 1$ picks (B).

अवधारणा: $| A - λ I | = 0$ हल करें; शून्य वाली पंक्ति से प्रसार करें।

पंक्ति 2 से: $(1 - λ) [(1 - λ)^{2} - 2] = 0$ ।
$λ = 1, 1 \pm \sqrt{2}$ ।
जाँच: योग $= 3 =$ अनुरेख ✓।

याद रखें: अनुरेख व सारणिक से विकल्प जाँचें।

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Q19.

The dimension of the subspace

W_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) : x_{1} - x_{3} - x_{4} = 0}

R^{5}

R^{5}

की उपसमष्टि

W_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) : x_{1} - x_{3} - x_{4} = 0}

की विमा है

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Concept: One independent linear equation in $R^{n}$ cuts the dimension by 1.

$x_{1} = x_{3} + x_{4}$ ; free variables $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ .
dim $= 5 - 1 = 4$ .

Short trick: dim = n − (number of independent equations).

अवधारणा: $R^{n}$ में एक स्वतंत्र रैखिक समीकरण विमा 1 घटाता है।

$x_{1} = x_{3} + x_{4}$ ; स्वतंत्र चर $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ ।
विमा $= 5 - 1 = 4$ ।

याद रखें: विमा = n − स्वतंत्र समीकरणों की संख्या।

UPHESC Assistant Professor MathematicsMathematicsDimension of a subspaceUPHESC Assistant Professor Mathematics 2025 · 16 Apr Shift 2

Q20.

The number of non-singular linear transformations from

R^{5}

R^{3}

over

R

will be

R

पर

R^{5}

से

R^{3}

पर व्युत्क्रमणीय रैखिक रूपान्तरणों की संख्या होगी

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Concept: Non-singular (one-one) needs nullity 0, i.e. rank = dim domain.

Rank $\leq \dim R^{3} = 3$ .
Nullity $= 5 - rank \geq 2 > 0$ .
So no such map exists: 0.

Short trick: Can't inject a bigger space into a smaller one.

अवधारणा: व्युत्क्रमणीय (एकैकी) के लिए शून्यता 0 चाहिए।

कोटि $\leq 3$ ।
शून्यता $\geq 5 - 3 = 2 > 0$ ।
अतः संख्या 0।

याद रखें: बड़ी समष्टि को छोटी में एकैकी नहीं भेज सकते।

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