UPHESC Assistant Professor Physics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Physics 2025 PYQs

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Complete solved eBook Mock tests

70 questions in Physics.

Q41.

Statements :
I. The Lagrange bracket is invariant under cannonical transformation.
II. The Lagrange bracket obey the commutative law of algebra as

{u, v} = - {v, u}

कथन :
I. कैनोनिकल रूपान्तरण में लेग्रेन्ज कोष्ठक अपरिवर्तित रहता है ।
II. लेग्रेन्ज कोष्ठक क्रमविनिमेय नियम

{u, v} = - {v, u}

का पालन करता है ।

ABoth statements I and II are correctदोनों कथन I और II सत्य हैं
BNeither statement I nor statement II is correctन तो कथन I और न ही कथन II सत्य हैं
COnly statement II is correctकेवल कथन II सत्य है
DOnly statement I is correctकेवल कथन I सत्य है

Show answer

Concept: ${u, v} = \sum_{i} (\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v} - \frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v})$ .

Lagrange (like Poisson) brackets are canonical invariants – I correct.
Interchanging $u, v$ flips the sign: ${u, v} = - {v, u}$ (anti-commutation, as stated) – II correct.

Short trick: Lagrange/Poisson brackets: invariant + antisymmetric.

अवधारणा: ${u, v} = \sum_{i} (\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v} - \frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v})$ ।

लाग्रांज कोष्ठक कैनोनिकल रूपान्तरण में अपरिवर्तित रहते हैं – I सत्य।
$u, v$ बदलने पर चिह्न बदलता है: ${u, v} = - {v, u}$ – II सत्य।

याद रखें: लाग्रांज/प्वासों कोष्ठक: अपरिवर्ती + प्रतिसममित।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLagrange bracketsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q42.

The travelling twins in the twin paradox moves at 0.8 C speed on a round trip for 10 years. How much time will the travelling twin experience according to the special theory of relativity ?

जुड़वा विरोधाभास में यात्रा करने वाला जुड़वा यदि 0.8 C चाल से एक परिक्रमायुक्त यात्रा पर 10 वर्ष के लिए जाता है । सापेक्षता सिद्धान्त के अनुसार गतिशील जुड़वा कितना समय अनुभव करेगा ?

A4 years4 वर्ष
B6 years6 वर्ष
C8 years8 वर्ष
D10 years10 वर्ष

Show answer

Concept: Proper time of the traveller $τ = t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (10 years is the Earth-frame time).

$\sqrt{1 - 0.64} = 0.6$ .
$τ = 10 \times 0.6 = 6$ years.

Short trick: 0.6c ↔ 0.8 factor; 0.8c ↔ 0.6 factor (3-4-5 triangle).

अवधारणा: यात्री का उचित काल $τ = t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (10 वर्ष पृथ्वी-फ्रेम का समय)।

$\sqrt{1 - 0.64} = 0.6$ ।
$τ = 10 \times 0.6 = 6$ वर्ष।

याद रखें: 0.8c ⇒ गुणांक 0.6 (3-4-5 त्रिभुज)।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsTime dilation – twin paradoxUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q43.

The value of

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - a) d x

is following

समाकलन

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - a) d x

का मान निम्नलिखित होता है

A $f (\infty)$
B $f (0)$
C $f (x)$
D $f (a)$

Show answer

Concept: Sifting property of the delta function.

$δ (x - a) = 0$ for $x \neq a$ and $\int δ (x - a) d x = 1$ .
So only the value at $x = a$ survives: $\int f (x) δ (x - a) d x = f (a)$ .

Short trick: Delta ‘picks out’ $f$ where its argument vanishes.

अवधारणा: डेल्टा फलन का चयन (sifting) गुण।

$x \neq a$ पर $δ (x - a) = 0$ तथा $\int δ (x - a) d x = 1$ ।
अतः केवल $x = a$ का मान बचता है: $f (a)$ ।

याद रखें: डेल्टा वहीं का $f$ चुनता है जहाँ उसका तर्क शून्य हो।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsDirac delta functionUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q44.

P_{n} (x)

be the Legendre polynomial of degree n, then for n = 0, what will be the value of

\int_{- 1}^{+ 1} P_{n} (x) d x

यदि

P_{n} (x)

डिग्री n का लेजेंडर बहुपद है, तो n = 0 के लिए

\int_{- 1}^{+ 1} P_{n} (x) d x

का मान क्या होगा ?

A $\infty$
B0
C1
D2

Show answer

Concept: $P_{0} (x) = 1$ ; generally $\int_{- 1}^{1} P_{n} d x = \int P_{n} P_{0} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{n 0}$ .

For $n = 0$ : $\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ .
For any $n \geq 1$ the integral is 0 (orthogonality with $P_{0}$ ).

Short trick: $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ → $n = 0$ gives 2.

अवधारणा: $P_{0} (x) = 1$ ; सामान्यतः $\int_{- 1}^{1} P_{n} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{n 0}$ ।

$n = 0$ : $\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ ।
$n \geq 1$ के लिए समाकल 0 (लम्बकोणीयता)।

याद रखें: $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ → $n = 0$ पर 2।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLegendre polynomialsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q45.

Grad

(\vec{r} \cdot \vec{r})

is expressed as following

प्रवणता

(\vec{r} \cdot \vec{r})

निम्नलिखित से व्यक्त किया जाता है

A $\vec{r}$
B $2 \vec{r}$
C $\frac{\vec{r}}{2}$
D $2 (x + y + z)$

Show answer

Concept: $\vec{r} \cdot \vec{r} = r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$\nabla (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 2 x \hat{i} + 2 y \hat{j} + 2 z \hat{k}$ .
$= 2 \vec{r}$ (a vector; option D is a scalar, so wrong).

Short trick: $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} \vec{r}$ ; $n = 2$ → $2 \vec{r}$ .

अवधारणा: $\vec{r} \cdot \vec{r} = r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ।

$\nabla (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 2 x \hat{i} + 2 y \hat{j} + 2 z \hat{k}$ ।
$= 2 \vec{r}$ (सदिश; विकल्प D अदिश है)।

याद रखें: $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} \vec{r}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsVector calculus – gradientUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q46.

f (x) = (x - 3)

, for

x \geq 3

, then Laplace transform of f(x) is
(where s has usual meaning)

यदि

f (x) = (x - 3)

x \geq 3

के लिए, तो f(x) का लाप्लास रूपान्तरण होता है
(जहाँ s का सामान्य अर्थ है)

A $s^{- 2} e^{- 3 s}$
B $s^{2} e^{- 3 s}$
C $s^{- 2} e^{3 s}$
D $s^{2} e^{3 s}$

Show answer

Concept: Second shifting theorem: $L {g (x - a) u (x - a)} = e^{- a s} G (s)$ .

Here $f (x) = (x - 3) u (x - 3)$ , i.e. $g (x) = x$ shifted by $a = 3$ .
$L {x} = \frac{1}{s^{2}}$ ⇒ $F (s) = \frac{e^{- 3 s}}{s^{2}} = s^{- 2} e^{- 3 s}$ .

Short trick: Delay by $a$ ⇒ multiply by $e^{- a s}$ (always a negative exponent).

अवधारणा: द्वितीय विस्थापन प्रमेय: $L {g (x - a) u (x - a)} = e^{- a s} G (s)$ ।

$f (x) = (x - 3) u (x - 3)$ , अर्थात $g (x) = x$ , $a = 3$ ।
$L {x} = \frac{1}{s^{2}}$ ⇒ $F (s) = s^{- 2} e^{- 3 s}$ ।

याद रखें: $a$ का विलम्ब ⇒ $e^{- a s}$ से गुणा।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLaplace transform – shifting theoremUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q47.

Fourier transform of which of the following function does not exist ?

निम्नलिखित में से किस फलन के लिए फूरियेर रूपान्तरण नहीं होता है ?

A $e^{- | x |}$
B $x e^{- x^{2}}$
C $e^{x^{2}}$
D $e^{- x^{2}}$

Show answer

Concept: Sufficient condition (Dirichlet): $f$ absolutely integrable, $\int_{- \infty}^{\infty} | f | d x < \infty$ .

$e^{- | x |}$ , $e^{- x^{2}}$ , $x e^{- x^{2}}$ all decay to 0 and are integrable → transforms exist.
$e^{x^{2}}$ blows up as $| x | \to \infty$ ; the integral diverges → no Fourier transform.

Short trick: Growing function ⇒ no Fourier transform.

अवधारणा: पर्याप्त शर्त: $\int_{- \infty}^{\infty} | f | d x < \infty$ (निरपेक्ष समाकलनीय)।

$e^{- | x |}$ , $e^{- x^{2}}$ , $x e^{- x^{2}}$ शून्य की ओर घटते हैं → रूपान्तरण विद्यमान।
$e^{x^{2}}$ अनन्त की ओर बढ़ता है; समाकल अपसारी → फूरियर रूपान्तरण नहीं।

याद रखें: बढ़ता फलन ⇒ फूरियर रूपान्तरण नहीं।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsFourier transform – existenceUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q48.

The value of integral

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{(13 + 4 \cos θ + 3 \sin θ)} d θ

समाकलन

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{(13 + 4 \cos θ + 3 \sin θ)} d θ

का मान होता है

A $π / 8$
B $π / 6$
C $π / 4$
D $π / 3$

Show answer

Concept: Standard result (contour integration): $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{a + b \cos θ + c \sin θ} = \frac{2 π}{\sqrt{a^{2} - b^{2} - c^{2}}}$ , $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ .

$4 \cos θ + 3 \sin θ = 5 \cos (θ - ϕ)$ .
$\sqrt{169 - 25} = 12$ .
Value $= \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ .

Short trick: $2 π / \sqrt{a^{2} - (b^{2} + c^{2})}$ .

अवधारणा: मानक परिणाम: $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{a + b \cos θ + c \sin θ} = \frac{2 π}{\sqrt{a^{2} - b^{2} - c^{2}}}$ ।

$4 \cos θ + 3 \sin θ = 5 \cos (θ - ϕ)$ ।
$\sqrt{169 - 25} = 12$ ।
मान $= \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ ।

याद रखें: $2 π / \sqrt{a^{2} - (b^{2} + c^{2})}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsContour integration – trigonometric integralsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q49.

Identify the correct statement for the following vectors.

\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}

\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j}

निम्नलिखित सदिश राशियों की सही कथन पहचान का विवरण दीजिए ।

\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}

\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j}

AThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are linearly independentसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
BThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are linearly dependentसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं
CThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are mutually orthogonalसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर परस्पर लम्बवत हैं
DThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel to each otherसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ एक दूसरे के समान्तर हैं

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Concept: Two vectors are dependent only if one is a scalar multiple of the other (determinant zero).

$| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 6 - 2 = 4 \neq 0$ → independent (hence not parallel).
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 4 = 7 \neq 0$ → not orthogonal.

Short trick: Ratios 3/1 ≠ 2/2 ⇒ not parallel ⇒ independent.

अवधारणा: दो सदिश तभी आश्रित होते हैं जब एक दूसरे का अदिश गुणज हो (सारणिक शून्य)।

सारणिक $= 6 - 2 = 4 \neq 0$ → स्वतंत्र (अतः समान्तर नहीं)।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \neq 0$ → लम्बवत नहीं।

याद रखें: अनुपात 3/1 ≠ 2/2 ⇒ स्वतंत्र।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLinear independence of vectorsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q50.

Bose-Einstein statistics is applied to the particle, that

बोस-आइन्सटीन सांख्यिकी उन कणों पर प्रयुक्त होता है, जो

AObey Pauli’s exclusion principleपाउली अपवर्जन नियम का पालन करते हैं
BDo not obey Pauli’s exclusion principleपाउली अपवर्जन नियम का पालन नहीं करते हैं
CAre distinguishableविभेदनीय होते हैं
DHave half-odd integer spinअर्ध-विषम पूर्णांक स्पिन रखते हैं

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Concept: BE statistics: identical, indistinguishable particles of integer spin (bosons), any number per state.

Bosons do not obey Pauli’s principle.
Pauli + half-integer spin → Fermi–Dirac; distinguishable → Maxwell–Boltzmann.

Short trick: MB – distinguishable; BE – no Pauli; FD – Pauli.

अवधारणा: BE सांख्यिकी: पूर्णांक स्पिन वाले अविभेदनीय कण (बोसॉन), एक अवस्था में कितने भी।

बोसॉन पाउली नियम का पालन नहीं करते।
पाउली + अर्ध-पूर्णांक स्पिन → फर्मी-डिरैक; विभेदनीय → मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान।

याद रखें: MB – विभेदनीय; BE – पाउली नहीं; FD – पाउली।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsQuantum statisticsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q51.

Three distinguishable particles are distributed in an open box, which is divided into two components of equal size. What will be the possible number of microstates and macrostates of the system ?

तीन विभेदनीय कणों को एक खुले बाक्स में वितरित किया जाता है, जो समान आकार के दो भागों में विभाजित है । निकाय के सूक्ष्म अवस्थाओं एवं स्थूल अवस्थाओं की सम्भावित संख्या क्या होगी ?

A4, 8
B8, 4
C3, 6
D6, 3

Show answer

Concept: $n$ distinguishable particles in $g$ cells: microstates $= g^{n}$ ; macrostates = number of ways of splitting the count $= n + 1$ for two cells.

Microstates $= 2^{3} = 8$ .
Macrostates: (3,0), (2,1), (1,2), (0,3) = 4.
Weights 1 + 3 + 3 + 1 = 8 ✓.

Short trick: Two halves: micro = $2^{n}$ , macro = $n + 1$ .

अवधारणा: $n$ विभेदनीय कण, $g$ भाग: सूक्ष्म अवस्थाएँ $= g^{n}$ ; दो भागों में स्थूल अवस्थाएँ $= n + 1$ ।

सूक्ष्म $= 2^{3} = 8$ ।
स्थूल: (3,0), (2,1), (1,2), (0,3) = 4।
भार 1 + 3 + 3 + 1 = 8 ✓।

याद रखें: दो भाग: सूक्ष्म = $2^{n}$ , स्थूल = $n + 1$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsMicrostates and macrostatesUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q52.

What is the phase-space trajectory of a one dimensional simple harmonic oscillator ?

किसी एक विमीय आवर्ती दोलित्र के कला-आकाश का वक्रपथ कैसा होता है ?

AEllipseदीर्घवृत्त
BCircleवृत्त
CParabolaपरवलय
DRectangular hyperbolaआयताकार अतिपरवलय

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Concept: Energy conservation in $(x, p)$ space: $\frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = E$ .

$\frac{x^{2}}{2 E / m ω^{2}} + \frac{p^{2}}{2 m E} = 1$ → ellipse.
Semi-axes $\sqrt{2 E / m ω^{2}}$ and $\sqrt{2 m E}$ ; area $= 2 π E / ω$ .
It becomes a circle only with specially scaled axes.

Short trick: SHO in phase space = ellipse; free particle = straight line.

अवधारणा: $(x, p)$ आकाश में ऊर्जा संरक्षण: $\frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} = E$ ।

$\frac{x^{2}}{2 E / m ω^{2}} + \frac{p^{2}}{2 m E} = 1$ → दीर्घवृत्त।
क्षेत्रफल $= 2 π E / ω$ ।
विशेष रूप से मापित अक्षों में ही वृत्त बनता है।

याद रखें: SHO कला आकाश = दीर्घवृत्त।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsPhase spaceUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q53.

What is the average energy of an electron in free electron gas ?

मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस में एक इलेक्ट्रॉन की औसत ऊर्जा क्या होती है ?

A $\frac{1}{3} E_{F}$
B $\frac{2}{5} E_{F}$
C $\frac{3}{5} E_{F}$
D $\frac{4}{5} E_{F}$

Show answer

Concept: In 3-D, density of states $g (E) \propto E^{1 / 2}$ .

$⟨ E ⟩ = \frac{\int_{0}^{E_{F}} E \cdot E^{1 / 2} d E}{\int_{0}^{E_{F}} E^{1 / 2} d E} = \frac{\frac{2}{5} E_{F}^{5 / 2}}{\frac{2}{3} E_{F}^{3 / 2}}$ .
$= \frac{3}{5} E_{F}$ (at 0 K).

Short trick: 3-D → $\frac{3}{5} E_{F}$ ; 2-D → $\frac{1}{2} E_{F}$ ; 1-D → $\frac{1}{3} E_{F}$ .

अवधारणा: 3-D में अवस्था घनत्व $g (E) \propto E^{1 / 2}$ ।

$⟨ E ⟩ = \frac{\int_{0}^{E_{F}} E^{3 / 2} d E}{\int_{0}^{E_{F}} E^{1 / 2} d E} = \frac{\frac{2}{5} E_{F}^{5 / 2}}{\frac{2}{3} E_{F}^{3 / 2}}$ ।
$= \frac{3}{5} E_{F}$ (0 K पर)।

याद रखें: 3-D → $\frac{3}{5} E_{F}$ ; 2-D → $\frac{1}{2} E_{F}$ ; 1-D → $\frac{1}{3} E_{F}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsFree electron gas at 0 KUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q54.

What is the efficiency of a Carnot engine operating between temperature

T_{1} = 500

K and

T_{2} = 300

K ?

ताप

T_{1} = 500

K और

T_{2} = 300

K के बीच कार्य करने वाले कार्नो इन्जन की दक्षता क्या होती है ?

A0.4
B0.5
C0.6
D0.2

Show answer

Concept: $η = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ (kelvin).

$η = 1 - \frac{300}{500} = 0.4$ (40%).

Short trick: $η = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} = \frac{200}{500}$ .

अवधारणा: $η = 1 - \frac{T_{2}}{T_{1}}$ (केल्विन में)।

$η = 1 - \frac{300}{500} = 0.4$ (40%)।

याद रखें: $η = \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsCarnot engineUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q55.

Which law of thermodynamics introduce the concept of entropy ?

ऊष्मागतिकी का कौन-सा नियम एंट्रोपी की अवधारणा प्रस्तुत करता है ?

AZeroth lawशून्यवाँ नियम
BFirst lawप्रथम नियम
CSecond lawद्वितीय नियम
DThird lawतृतीय नियम

Show answer

Concept: Each law introduces one state function.

Zeroth → temperature; First → internal energy.
Second → entropy ( $d S = δ Q_{r e v} / T$ , $Δ S_{u n i v} \geq 0$ ; Clausius).
Third → value of entropy as $T \to 0$ (it uses, not introduces, entropy).

Short trick: 0 – T, 1 – U, 2 – S.

अवधारणा: प्रत्येक नियम एक अवस्था फलन देता है।

शून्यवाँ → ताप; प्रथम → आन्तरिक ऊर्जा।
द्वितीय → एंट्रोपी ( $d S = δ Q_{r e v} / T$ ; क्लॉसियस)।
तृतीय → $T \to 0$ पर एंट्रोपी का मान।

याद रखें: 0 – T, 1 – U, 2 – S।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLaws of thermodynamicsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q56.

Which of the three physical parameters out of N, V, E, T,

μ

in a system of a microcanonical ensemble remain constant ?

सूक्ष्मकैनोनिकल एन्सेम्बल निकाय में N, V, E, T,

μ

भौतिक प्राचलों में से कौन-से तीन नियत रहते हैं ?

AN, V, E
BV, E, T
CN, E, T
DE, T, $μ$

Show answer

Concept: Ensembles are labelled by what is fixed.

Microcanonical: isolated system – N, V, E fixed.
Canonical: N, V, T; grand canonical: $μ$ , V, T.

Short trick: Micro = NVE, Canonical = NVT, Grand = $μ$ VT.

अवधारणा: समुच्चय नियत राशियों से पहचाने जाते हैं।

सूक्ष्मकैनोनिकल: विलगित निकाय – N, V, E नियत।
कैनोनिकल: N, V, T; ग्रैंड कैनोनिकल: $μ$ , V, T।

याद रखें: NVE – NVT – $μ$ VT।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsStatistical ensemblesUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q57.

The wave function

ψ (\vec{r})

of a particle moving in three dimensional space has the following physical dimension

एक कण त्रिविमीय आकाश में भ्रमण कर रहा है । इसके तरंग फलन

ψ (\vec{r})

की भौतिकीय विमा निम्नलिखित होती है

A(length) $^{- 3 / 2}$ (लम्बाई) $^{- 3 / 2}$
B(length) $^{3 / 2}$ (लम्बाई) $^{3 / 2}$
C(length) $^{- 1}$ (लम्बाई) $^{- 1}$
Dlengthलम्बाई

Show answer

Concept: $\int | ψ |^{2} d^{3} r = 1$ (dimensionless).

$d^{3} r$ has dimension L³, so $| ψ |^{2}$ has L⁻³.
$ψ$ has L $^{- 3 / 2}$ (in 1-D it would be L $^{- 1 / 2}$ ).

Short trick: $[ψ] =$ L $^{- d / 2}$ in $d$ dimensions.

अवधारणा: $\int | ψ |^{2} d^{3} r = 1$ (विमाहीन)।

$d^{3} r$ की विमा L³, अतः $| ψ |^{2}$ की L⁻³।
$ψ$ की विमा L $^{- 3 / 2}$ (1-D में L $^{- 1 / 2}$ )।

याद रखें: $d$ विमाओं में $[ψ] =$ L $^{- d / 2}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsWave function normalisationUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q58.

The group velocity G and phase velocity u are related by

G = u - λ \frac{d u}{d λ}

. For this relation, which statement is true ?

समूह वेग G तथा कला वेग u,

G = u - λ \frac{d u}{d λ}

के अनुसार सम्बन्धित है । इसके लिए कौन-सा कथन सत्य है ?

A $G \geq u$ in a dispersive medium $G \geq u$ एक फैलाव माध्यम में
B $G < u$ in a non-dispersive medium $G < u$ एक गैर-फैलाव माध्यम में
C $G \leq u$ in a dispersive medium $G \leq u$ एक फैलाव माध्यम में
D $G = u$ in a non-dispersive medium $G = u$ एक गैर-फैलाव माध्यम में

Show answer

Concept: In a non-dispersive medium the phase velocity does not depend on wavelength.

$\frac{d u}{d λ} = 0$ ⇒ $G = u$ – always true.
In a dispersive medium $G < u$ (normal, $d u / d λ > 0$ ) or $G > u$ (anomalous), so neither A nor C holds generally.
B contradicts $G = u$ .

Short trick: No dispersion ⇒ no difference: $G = u$ (e.g. light in vacuum).

अवधारणा: अपरिक्षेपी (गैर-फैलाव) माध्यम में कला वेग तरंगदैर्घ्य पर निर्भर नहीं करता।

$\frac{d u}{d λ} = 0$ ⇒ $G = u$ – सदैव सत्य।
परिक्षेपी माध्यम में सामान्य परिक्षेपण पर $G < u$ तथा असामान्य पर $G > u$ , अतः A या C सर्वत्र सत्य नहीं।
B, $G = u$ का विरोधी है।

याद रखें: परिक्षेपण नहीं ⇒ $G = u$ (जैसे निर्वात में प्रकाश)।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsPhase and group velocityUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q59.

The eigen values of the Pauli matrix

σ_{y} = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

are

पाउली आव्यूह

σ_{y} = [\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}]

के आइगन मान होते हैं

A+1, +1
B+1, −1
C+i, −i
D−i, −i

Show answer

Concept: $σ_{y}$ is Hermitian, so eigenvalues are real; $σ_{y}^{2} = I$ .

$det (σ_{y} - λ I) = λ^{2} - (- i) (i) = λ^{2} - 1 = 0$ .
$λ = \pm 1$ (trace 0 ⇒ sum 0, det −1 ⇒ product −1).

Short trick: Every Pauli matrix has eigenvalues ±1.

अवधारणा: $σ_{y}$ हर्मिटी है, अतः आइगन मान वास्तविक; $σ_{y}^{2} = I$ ।

$λ^{2} - (- i) (i) = λ^{2} - 1 = 0$ ।
$λ = \pm 1$ (ट्रेस 0, सारणिक −1)।

याद रखें: सभी पाउली आव्यूहों के आइगन मान ±1।

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Q60.

For one dimensional harmonic oscillator in all odd states, the probability of finding the oscillating particle at the center is following

किसी एक विमीय आवर्ती दोलक की सभी विषम स्तरों में दोलक कण के केन्द्र पर पाये जाने की प्रायिकता निम्नलिखित होती है

AMaximumअधिकतम
BMinimumन्यूनतम
CInfiniteअनन्त
DZeroशून्य

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Concept: $ψ_{n} (x) \propto H_{n} (ξ) e^{- ξ^{2} / 2}$ ; odd $n$ ⇒ $H_{n}$ is an odd polynomial.

Odd function ⇒ $ψ_{n} (0) = 0$ .
So $| ψ_{n} (0) |^{2} = 0$ : a node at the centre for $n = 1, 3, 5, \dots$
Even states have non-zero probability at the centre (maximum for $n = 0$ ).

Short trick: Odd parity ⇒ node at origin.

अवधारणा: $ψ_{n} (x) \propto H_{n} (ξ) e^{- ξ^{2} / 2}$ ; विषम $n$ के लिए $H_{n}$ विषम बहुपद।

विषम फलन ⇒ $ψ_{n} (0) = 0$ ।
अतः केन्द्र पर प्रायिकता $| ψ_{n} (0) |^{2} = 0$ ।
सम अवस्थाओं में केन्द्र पर प्रायिकता शून्येतर।

याद रखें: विषम समता ⇒ मूल बिन्दु पर निस्पंद (node)।

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