UPHESC Assistant Professor Statistics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 PYQs

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70 questions in Statistics.

Q1.

If A and B are two events which have no point in common, then event A and B are

यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ है जिनमें कोई बिन्दु समान नहीं है, तो घटना A और B है

AComplementary to each otherएक दूसरे के पूरक
BIndependentस्वतंत्र
CMutually exclusiveपरस्पर अपवर्जी
DDependentआश्रित

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Concept: Events with no common sample point satisfy $A \cap B = φ$ ; such events are called mutually exclusive (disjoint).

No common point ⇒ $A \cap B = φ$ ⇒ $P (A \cap B) = 0$ .
Complementary needs also $A \cup B = S$ – not given.
Independence means $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ ; disjoint events with positive probabilities are in fact dependent, but the defining name is 'mutually exclusive'.

Short trick: No overlap = mutually exclusive; overlap with product rule = independent.

अवधारणा: जिन घटनाओं में कोई समान बिन्दु न हो, उनके लिए $A \cap B = φ$ होता है; इन्हें परस्पर अपवर्जी घटनाएँ कहते हैं।

कोई समान बिन्दु नहीं ⇒ $A \cap B = φ$ ⇒ $P (A \cap B) = 0$ ।
पूरक होने के लिए $A \cup B = S$ भी चाहिए – यह नहीं दिया।
स्वतंत्रता का अर्थ $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ है, जो यहाँ की परिभाषा नहीं है।

याद रखें: कोई साझा बिन्दु नहीं = परस्पर अपवर्जी।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsMutually exclusive eventsUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q2.

The individual probabilities of occurrence of two events A and B are known, the probability of occurrence of both the events together will be

दो घटनाओं A और B के घटित होने की व्यक्तिगत प्रायिकताएँ ज्ञात है, दोनों घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता _______ होगी ।

Agreaterअधिक
Bsmallerकम
Coneएक
Dzeroशून्य

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Concept: $A \cap B \subseteq A$ and $A \cap B \subseteq B$ , so $P (A \cap B) \leq min {P (A), P (B)}$ .

Joint occurrence is a sub-event of each event, hence its probability cannot exceed either individual probability.
E.g. independent events: $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , a product of two fractions – smaller than each.
It is 1 or 0 only in special cases, so 'smaller' is the general answer.

Short trick: Both together is harder than either alone – probability gets smaller.

अवधारणा: $A \cap B$ , A तथा B दोनों का उप-समुच्चय है, अतः $P (A \cap B) \leq min {P (A), P (B)}$ ।

दोनों का एक साथ घटित होना प्रत्येक घटना की उप-घटना है, इसलिए इसकी प्रायिकता व्यक्तिगत प्रायिकताओं से अधिक नहीं हो सकती।
जैसे स्वतंत्र घटनाओं में $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ – दो भिन्नों का गुणनफल, जो दोनों से छोटा है।
1 या 0 केवल विशेष स्थितियों में होता है।

याद रखें: दोनों एक साथ = कठिन = प्रायिकता कम।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsProbability of joint occurrenceUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q3.

The mean and variance of a Binomial distribution are 8 and 4 respectively. P[X = 1] is equal to

एक द्विपद बंटन का माध्य और प्रसरण क्रमश: 8 और 4 है । P[X = 1] बराबर होगा

A ${(\frac{1}{2})}^{12}$
B ${(\frac{1}{2})}^{4}$
C ${(\frac{1}{2})}^{6}$
D ${(\frac{1}{2})}^{8}$

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Concept: For $B (n, p)$ : mean $n p$ , variance $n p q$ .

$q = \frac{n p q}{n p} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , so $p = \frac{1}{2}$ , $n = 16$ .
$P (X = 1) = (\binom{16}{1}) {(\frac{1}{2})}^{16} = 16 \cdot 2^{- 16} = 2^{4} \cdot 2^{- 16}$ .
$= {(\frac{1}{2})}^{12}$ .

Short trick: q = variance/mean; then $n p q^{n - 1}$ .

अवधारणा: $B (n, p)$ में माध्य $n p$ तथा प्रसरण $n p q$ होता है।

$q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , अतः $p = \frac{1}{2}$ , $n = 16$ ।
$P (X = 1) = 16 {(\frac{1}{2})}^{16} = 2^{4} \cdot 2^{- 16}$ ।
$= {(\frac{1}{2})}^{12}$ ।

याद रखें: q = प्रसरण/माध्य; फिर $n p q^{n - 1}$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsBinomial distributionUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q4.

The height of persons in a country is random variable of the type

किसी देश में व्यक्तियों की ऊँचाई किस प्रकार का यादृच्छिक चर है ?

AContinuous random variableसतत यादृच्छिक चर
BDiscrete random variableविविक्त यादृच्छिक चर
CNeither discrete nor continuous random variableन तो विविक्त और न ही सतत यादृच्छिक चर
DContinuous as well as discrete random variableसतत और साथ ही विविक्त यादृच्छिक चर

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Concept: A variable that can take any value in an interval is continuous; one taking countable values is discrete.

Height is measured (e.g. 165.37 cm) and can take any value in a range.
Counts like number of children are discrete – height is not a count.
Hence height is a continuous random variable.

Short trick: Measured → continuous; counted → discrete.

अवधारणा: किसी अंतराल में कोई भी मान ले सकने वाला चर सतत तथा गणनीय मान लेने वाला चर विविक्त होता है।

ऊँचाई मापी जाती है और किसी परास में कोई भी मान ले सकती है।
बच्चों की संख्या जैसी गिनती विविक्त होती है; ऊँचाई गिनती नहीं है।
अतः ऊँचाई सतत यादृच्छिक चर है।

याद रखें: मापा गया → सतत; गिना गया → विविक्त।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsTypes of random variablesUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q5.

Negative Binomial distribution nb(x, r, p) for r = 1 reduces to

r = 1 के लिए ऋणात्मक द्विपद बंटन nb(x, r, p) कम हो जाता है

ABinomial distributionद्विपद बंटन
BPoisson distributionपॉइसन वितरण/बंटन
CGeometric distributionगुणोत्तर बंटन
DHypergeometric distributionहाइपरजिऑमेट्रिक बंटन

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Concept: $n b (x; r, p) = (\binom{x + r - 1}{r - 1}) p^{r} q^{x}$ = number of failures before the $r$ -th success.

Put $r = 1$ : $(\binom{x}{0}) p q^{x} = p q^{x}$ , $x = 0, 1, 2, \dots$
This is the geometric distribution (failures before the first success).
Poisson is the limit as $r \to \infty$ with $r q \to λ$ , not $r = 1$ .

Short trick: Waiting for 1st success = geometric; for r-th success = negative binomial.

अवधारणा: $n b (x; r, p) = (\binom{x + r - 1}{r - 1}) p^{r} q^{x}$ = r-वीं सफलता से पहले असफलताओं की संख्या।

$r = 1$ रखने पर $p q^{x}$ , $x = 0, 1, 2, \dots$
यही गुणोत्तर (ज्यामितीय) बंटन है।
पॉइसन बंटन $r \to \infty$ , $r q \to λ$ की सीमा है, $r = 1$ नहीं।

याद रखें: पहली सफलता की प्रतीक्षा = गुणोत्तर बंटन।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsNegative binomial distributionUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q6.

(r, s)^th moment in a bivariate normal distribution can be found

M_{x, y} (t_{1}, t_{2})

as the coefficient of

द्विचर प्रसामान्य बंटन में (r, s) वां आघूर्ण

M_{x, y} (t_{1}, t_{2})

के गुणांक के रूप में पाया जा सकता हैं

A $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r}$
B $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{\sqrt{r} \sqrt{s}}$
C $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$
D $t_{1}^{r} t_{2}^{s}$

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Concept: $M (t_{1}, t_{2}) = E (e^{t_{1} X + t_{2} Y}) = \sum_{r, s} μ_{r s}^{'} \frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ .

Expand $e^{t_{1} X} e^{t_{2} Y} = \sum_{r} \frac{(t_{1} X)^{r}}{r!} \sum_{s} \frac{(t_{2} Y)^{s}}{s!}$ .
Taking expectation gives $E (X^{r} Y^{s})$ multiplied by $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ .
So $μ_{r s}^{'}$ = coefficient of $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ (true for any bivariate MGF, including normal).

Short trick: Univariate: coefficient of $t^{r} / r!$ ; bivariate: of $t_{1}^{r} t_{2}^{s} / (r! s!)$ .

अवधारणा: $M (t_{1}, t_{2}) = E (e^{t_{1} X + t_{2} Y}) = \sum_{r, s} μ_{r s}^{'} \frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ ।

$e^{t_{1} X} e^{t_{2} Y}$ का प्रसार करने पर प्रत्येक पद $\frac{(t_{1} X)^{r} (t_{2} Y)^{s}}{r! s!}$ होता है।
प्रत्याशा लेने पर $E (X^{r} Y^{s})$ का गुणक $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ होता है।
अतः $μ_{r s}^{'}$ = $\frac{t_{1}^{r} t_{2}^{s}}{r! s!}$ का गुणांक।

याद रखें: एकचर: $t^{r} / r!$ का गुणांक; द्विचर: $t_{1}^{r} t_{2}^{s} / (r! s!)$ का गुणांक।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsJoint moment generating functionUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q7.

If each observation of a set is divided by 10, then the S. D. of the new observations is

यदि किसी समुच्चय के प्रत्येक अवलोकन को 10 से विभाजित किया जाय, तो नये अवलोकनों का एस. डी. है

A $\frac{1}{10}$ ^th of the S. D. of original observationमूल अवलोकनों के एस. डी. का $\frac{1}{10}$ वां भाग
B $\frac{1}{100}$ ^th of the S. D. of the original observationमूल अवलोकनों के एस. डी. का $\frac{1}{100}$ वां भाग
Cnot changedकोई परिवर्तन नहीं होगा
D10 times of S. D. of the original observationsमूल अवलोकनों के एस. डी. का 10 गुणा

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Concept: S.D. is independent of origin but not of scale: if $u = x / h$ , then $σ_{u} = σ_{x} / | h |$ .

Here $h = 10$ , so new S.D. $= σ / 10$ .
Variance would become $σ^{2} / 100$ – option (B) confuses S.D. with variance.

Short trick: Divide data by k → S.D. ÷ k, variance ÷ k².

अवधारणा: मानक विचलन मूल-बिन्दु से स्वतंत्र पर पैमाने पर निर्भर है: $u = x / h$ हो तो $σ_{u} = σ_{x} / | h |$ ।

यहाँ $h = 10$ , अतः नया S.D. $= σ / 10$ ।
प्रसरण $σ^{2} / 100$ होगा – विकल्प (B) प्रसरण से भ्रम है।

याद रखें: k से भाग → S.D. ÷ k, प्रसरण ÷ k²।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsEffect of change of scale on S.D.UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q8.

If the mean, standard deviation and coefficient of Skewness of a frequency distribution are 60, 45 and −0.4 respectively, then the mode of the frequency distribution is

यदि किसी आवृत्ति बंटन का माध्य, मानक विचलन और बैषम्य गुणांक क्रमश: 60, 45 और −0.4 है, तो आवृत्ति बंटन का बहुलक होगा

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Concept: Karl Pearson: $S_{k} = \frac{Mean - Mode}{σ}$ .

$- 0.4 = \frac{60 - Mode}{45}$ ⇒ $60 - Mode = - 18$ .
Mode $= 60 + 18 = 78$ .

Short trick: Negative skew ⇒ mode > mean: Mode = Mean − $S_{k} σ$ .

अवधारणा: कार्ल पियर्सन: $S_{k} = \frac{\bar{x} - M_{o}}{σ}$ (माध्य $\bar{x}$ , बहुलक $M_{o}$ )।

$- 0.4 = \frac{60 - M_{o}}{45}$ ⇒ $60 - M_{o} = - 18$ ।
बहुलक $M_{o} = 78$ ।

याद रखें: ऋणात्मक वैषम्य ⇒ बहुलक > माध्य।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsKarl Pearson's coefficient of skewnessUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q9.

If X and Y are independent, then the value of regression coefficient

β_{y x}

is equal to

यदि X और Y स्वतंत्र हो, तो समाश्रयण गुणांक

β_{y x}

का बराबर होगा

A0
B1
C $\infty$
DA positive numberएक धनात्मक संख्या

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Concept: $β_{y x} = \frac{Cov (X, Y)}{σ_{x}^{2}}$ .

Independence ⇒ $E (X Y) = E (X) E (Y)$ ⇒ Cov $(X, Y) = 0$ .
Hence $β_{y x} = 0$ (regression line of Y on X is horizontal).

Short trick: Independent ⇒ r = 0 ⇒ both regression coefficients = 0.

अवधारणा: $β_{y x} = \frac{Cov (X, Y)}{σ_{x}^{2}}$ ।

स्वतंत्रता ⇒ Cov $(X, Y) = 0$ ।
अतः $β_{y x} = 0$ (Y की X पर समाश्रयण रेखा क्षैतिज)।

याद रखें: स्वतंत्र ⇒ r = 0 ⇒ दोनों समाश्रयण गुणांक शून्य।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsRegression coefficientUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q10.

When there is no defective in the lot, then the OC function for p = 0 is

जब प्रचय में कोई खराबी नहीं है, तो p = 0 के लिए OC का फलन होता हैं

AL(0) = 0
BL(0) = 1
C $L (0) = \infty$
D $L (0) = - \infty$

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Concept: $L (p)$ = probability of accepting a lot of quality $p$ .

If $p = 0$ , the sample can contain no defective, so the lot is surely accepted.
Hence $L (0) = 1$ (and $L (1) = 0$ ); a probability can never be $\pm \infty$ .

Short trick: Perfect lot → always accepted → L(0) = 1.

अवधारणा: $L (p)$ = गुणवत्ता $p$ वाले प्रचय के स्वीकृत होने की प्रायिकता।

$p = 0$ पर नमूने में कोई दोषपूर्ण इकाई नहीं होगी, अतः प्रचय निश्चित रूप से स्वीकृत।
अतः $L (0) = 1$ (तथा $L (1) = 0$ )।

याद रखें: पूर्ण शुद्ध प्रचय → सदा स्वीकार → L(0) = 1।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsOperating characteristic curveUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q11.

If the origin in the trend equation y = a + bx is shifted backward by two years, then the variable X in the trend equation will be replaced by

यदि उपनति समीकरण y = a + bx में मूल बिंदु को दो वर्ष पीछे स्थानांतरित कर दिया जाय, तो उपनति समीकरण में चर X को _______ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा ।

A(X – 2)
B(X + 2)
C $\frac{X}{2}$
D $(X + 2)^{2}$

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Concept: If the origin moves $k$ years forward, $X$ is replaced by $X + k$ ; if it moves $k$ years backward, $X$ is replaced by $X - k$ .

Old origin $O$ , new origin $O^{'} = O - 2$ . A year's new code is $X^{'} = X + 2$ , so $X = X^{'} - 2$ .
Substituting: $y = a + b (X - 2) = (a - 2 b) + b X$ – the intercept becomes the trend value two years earlier.
Hence X is replaced by $(X - 2)$ .

Short trick: Origin back by k → (X − k); origin forward by k → (X + k).

अवधारणा: मूल बिन्दु $k$ वर्ष आगे करने पर $X$ के स्थान पर $X + k$ तथा $k$ वर्ष पीछे करने पर $X - k$ रखते हैं।

नया मूल $O^{'} = O - 2$ ; नया कोड $X^{'} = X + 2$ , अतः $X = X^{'} - 2$ ।
$y = a + b (X - 2) = (a - 2 b) + b X$ – अंतःखंड दो वर्ष पहले का उपनति मान बन जाता है।
अतः X को $(X - 2)$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

याद रखें: पीछे k → (X − k); आगे k → (X + k)।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsShifting the origin of a trend equationUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q12.

For the given five values 15, 24, 18, 33 and 42, the three years moving averages are

दिए गए पाँच मानों 15, 24, 18, 33 और 42 के लिए तीन वर्षों के चल औसत हैं

A19, 22, 33
B19, 25, 31
C19, 30, 31
D19, 31, 33

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Concept: A 3-year moving average averages each consecutive block of three values.

$(15 + 24 + 18) / 3 = 57 / 3 = 19$
$(24 + 18 + 33) / 3 = 75 / 3 = 25$
$(18 + 33 + 42) / 3 = 93 / 3 = 31$

Short trick: Next MA = previous MA + (new − dropped)/3: 19 + (33−15)/3 = 25, 25 + (42−24)/3 = 31.

अवधारणा: 3-वर्षीय चल माध्य में लगातार तीन-तीन मानों का औसत लेते हैं।

$(15 + 24 + 18) / 3 = 19$
$(24 + 18 + 33) / 3 = 25$
$(18 + 33 + 42) / 3 = 31$

याद रखें: अगला चल माध्य = पिछला + (नया − हटाया)/3।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsMoving averagesUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q13.

In post-independent India, the registration of Births and Deaths Act was passed on

भारत की स्वतंत्रता के बाद, जन्म और मृत्यु पंजीकरण अधिनियम _________ में पारित किया गया था ।

A1948
B1959
C1969
D1979

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Concept: The Registration of Births and Deaths (RBD) Act, 1969 made registration of births and deaths compulsory throughout India (in force from 1970).

Before 1969 registration was governed by scattered provincial laws (e.g. Births, Deaths and Marriages Registration Act, 1886).
The Registrar General of India coordinates registration under the 1969 Act; it was amended in 2023 (digital registration).
1948 = Census Act; 1959/1979 are not related acts.

Short trick: RBD Act 1969 – '69 for vital statistics'.

अवधारणा: जन्म और मृत्यु पंजीकरण अधिनियम, 1969 ने पूरे भारत में जन्म-मृत्यु का पंजीकरण अनिवार्य किया (1970 से लागू)।

1969 से पहले पंजीकरण बिखरे हुए प्रांतीय कानूनों से होता था।
इस अधिनियम के अंतर्गत भारत के महापंजीयक समन्वय करते हैं; 2023 में संशोधन हुआ।
1948 = जनगणना अधिनियम; 1959/1979 संबंधित नहीं।

याद रखें: RBD अधिनियम = 1969।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsVital statistics registration in IndiaUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q14.

The range of homogeneity error in reference to index numbers is

सूचकांक संख्या के संदर्भ में समरूपता त्रुटि की सीमा __________ होती है ।

A0 to 10 से 1
B0 to $\infty$ 0 से $\infty$
C–1 to 1–1 से 1
D $- \infty$ to $\infty$ $- \infty$ से $\infty$

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Concept: Index numbers suffer from formula error, sampling (selection) error and homogeneity error; the last arises when the commodities/qualities in the base and current periods are not the same.

Because the basket changes (new items, quality changes, items dropped), the index may be pushed either up or down.
Thus the error can be positive or negative and has no fixed bound – it is not a ratio confined to [0, 1] or [–1, 1].
Hence its range is $- \infty$ to $\infty$ .

Short trick: Homogeneity error: sign free, size free → (−∞, ∞).

अवधारणा: सूचकांक में सूत्र त्रुटि, प्रतिचयन त्रुटि तथा समरूपता त्रुटि होती है; समरूपता त्रुटि तब आती है जब आधार व चालू वर्ष की वस्तुएँ/गुणवत्ता समान न हों।

वस्तु-समूह बदलने से सूचकांक ऊपर या नीचे दोनों ओर खिसक सकता है।
अतः यह त्रुटि धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है और इसकी कोई निश्चित सीमा नहीं है।
इसलिए परास $- \infty$ से $\infty$ ।

याद रखें: समरूपता त्रुटि: चिह्न व आकार दोनों मुक्त → (−∞, ∞)।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsErrors in index numbersUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q15.

If the group indices are 80, 120 and 125 and their respective group weights are 60, 20 and 20, then the consumer price index is

यदि समूह सूचकांक 80, 120 और 125 है और उनके संबंधित समूह भार 60, 20 और 20 है, तो उपभोक्ता मूल्य सूचकांक हैं

A108.33
B97.00
C98.49
D101.41

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Concept: CPI (family budget method) $= \frac{\sum I W}{\sum W}$ .

$\sum I W = 80 (60) + 120 (20) + 125 (20) = 4800 + 2400 + 2500 = 9700$ .
$\sum W = 100$ , so CPI $= 97.00$ .

Short trick: Weighted A.M. of group indices.

अवधारणा: CPI (पारिवारिक बजट विधि) $= \frac{\sum I W}{\sum W}$ ।

$\sum I W = 4800 + 2400 + 2500 = 9700$ ।
$\sum W = 100$ , अतः CPI $= 97.00$ ।

याद रखें: समूह सूचकांकों का भारित समांतर माध्य।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsConsumer price indexUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q16.

Let

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{21}

be a random sample from a distribution having the sample variance 5.
Let

\bar{X} = \frac{1}{21} \sum_{i = 1}^{21} X_{i}

and

S = \sum_{i = 1}^{21} (X_{i} - \bar{X})^{2}

, then the value of E(S) is

मान लीजिए

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{21}

एक बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जिसका प्रतिदर्श प्रसरण 5 है । माना

\bar{X} = \frac{1}{21} \sum_{i = 1}^{21} X_{i}

और

S = \sum_{i = 1}^{21} (X_{i} - \bar{X})^{2}

, तो E(S) का मान है

A5
B100
C0.25
D105

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Concept: $E [\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ , since $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ is unbiased for $σ^{2}$ .

The variance of the distribution sampled is 5, $n = 21$ .
$E (S) = (21 - 1) \times 5 = 100$ .
105 would wrongly use $n$ instead of $n - 1$ .

Short trick: One d.f. is lost to $\bar{X}$ : multiply by (n − 1).

अवधारणा: $E [\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ , क्योंकि $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ अनभिनत है।

बंटन का प्रसरण 5, $n = 21$ ।
$E (S) = 20 \times 5 = 100$ ।
105 में $n - 1$ के स्थान पर $n$ लिया गया है – गलत।

याद रखें: $\bar{X}$ के कारण एक स्वातंत्र्य कोटि घटती है: (n − 1) से गुणा।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsExpectation of sum of squaresUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q17.

Let X and Y be two independent normal random variables, then the distribution of

U = {(\frac{x - y}{x + y})}^{2}

मान लीजिए X और Y दो स्वतंत्र प्रसामान्य यादृच्छिक चर है, तो

U = {(\frac{x - y}{x + y})}^{2}

का बंटन है

AChi-square with 2d.f.2d.f. के साथ काई–वर्ग
BChi-square with 1d.f.1d.f. के साथ काई–वर्ग
CF with (2, 2) d.f.(2, 2) d.f. के साथ F
DF with (1, 1) d.f.(1, 1) d.f. के साथ F

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Concept: For i.i.d. $N (0, σ^{2})$ variables, $X - Y$ and $X + Y$ are independent $N (0, 2 σ^{2})$ .

$\frac{(X - Y)^{2}}{2 σ^{2}} \sim χ_{1}^{2}$ and $\frac{(X + Y)^{2}}{2 σ^{2}} \sim χ_{1}^{2}$ , independent.
$U = \frac{χ_{1}^{2} / 1}{χ_{1}^{2} / 1} \sim F_{1, 1}$ .
Equivalently $\frac{X - Y}{X + Y}$ is Cauchy and the square of a Cauchy ( $t_{1}$ ) variate is $F_{1, 1}$ .

Short trick: $t_{n}^{2} = F_{1, n}$ ; Cauchy = $t_{1}$ ⇒ square is $F_{1, 1}$ .

अवधारणा: i.i.d. $N (0, σ^{2})$ चरों के लिए $X - Y$ और $X + Y$ स्वतंत्र $N (0, 2 σ^{2})$ होते हैं।

दोनों के मानकीकृत वर्ग स्वतंत्र $χ_{1}^{2}$ हैं।
$U = \frac{χ_{1}^{2} / 1}{χ_{1}^{2} / 1} \sim F_{1, 1}$ ।
$\frac{X - Y}{X + Y}$ कॉशी ( $t_{1}$ ) है, इसका वर्ग $F_{1, 1}$ ।

याद रखें: $t_{n}^{2} = F_{1, n}$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSampling distributions (F)UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q18.

Let the random variable X have binomial distribution with parameters 3 and

θ

. A test of hypothesis

H_{0} : θ = \frac{3}{4}

against

H_{1} : θ = \frac{1}{4}

rejects

H_{0}

X \leq 1

, then the test have

मान लें यादृच्छिक चर X, प्राचल 3 और

θ

के साथ एक द्विपद बंटन रखता है ।

H_{1} : θ = \frac{1}{4}

के विरुद्ध

H_{0} : θ = \frac{3}{4}

परिकल्पना का परीक्षण अस्वीकार होता है यदि

X \leq 1

तब परीक्षण रखता है

ASize = $\frac{5}{32}$ , power = $\frac{27}{32}$ आमाप = $\frac{5}{32}$ , शक्ति = $\frac{27}{32}$
BSize = $\frac{5}{32}$ , power = $\frac{18}{32}$ आमाप = $\frac{5}{32}$ , शक्ति = $\frac{18}{32}$
CSize = $\frac{15}{32}$ , power = $\frac{27}{32}$ आमाप = $\frac{15}{32}$ , शक्ति = $\frac{27}{32}$
DSize = $\frac{1}{32}$ , power = $\frac{31}{32}$ आमाप = $\frac{1}{32}$ , शक्ति = $\frac{31}{32}$

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Concept: Size $= P (X \leq 1 ∣ H_{0})$ , Power $= P (X \leq 1 ∣ H_{1})$ , with $P (X \leq 1) = (1 - θ)^{3} + 3 θ (1 - θ)^{2}$ .

$θ = \frac{3}{4}$ : $\frac{1}{64} + 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1 + 9}{64} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$ .
$θ = \frac{1}{4}$ : $\frac{27}{64} + 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{27 + 27}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32}$ .

Short trick: Same rejection region, two θ's: H₀ gives size, H₁ gives power.

अवधारणा: आमाप $= P (X \leq 1 ∣ H_{0})$ , शक्ति $= P (X \leq 1 ∣ H_{1})$ ; $P (X \leq 1) = (1 - θ)^{3} + 3 θ (1 - θ)^{2}$ ।

$θ = \frac{3}{4}$ : $\frac{1 + 9}{64} = \frac{5}{32}$ ।
$θ = \frac{1}{4}$ : $\frac{27 + 27}{64} = \frac{27}{32}$ ।

याद रखें: एक ही अस्वीकृति क्षेत्र: H₀ से आमाप, H₁ से शक्ति।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSize and power of a testUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q19.

If larger units have greater probability of their inclusion in the sample, it is known as

यदि बड़ी इकाइयों के प्रतिदर्श में शामिल होने की अधिक प्रायिकता है, तो यह ज्ञात है

ASelection with replacementप्रतिस्थापन के साथ चयन
BSelection with probability proportional to sizeआकार के अनुपात में प्रायिकता के साथ चयन
CSelection with constant probabilityस्थिरांक प्रायिकता के साथ चयन
DProbability selectionप्रायिकता चयन

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Concept: In PPS sampling unit $i$ is drawn with probability $p_{i} = X_{i} / X$ , proportional to a size measure $X_{i}$ .

Larger units (bigger $X_{i}$ ) therefore have higher chance of selection.
Constant probability = SRS; 'with replacement' and 'probability selection' are general terms, not size-based.

Short trick: Bigger size → bigger chance = PPS (Lahiri's / cumulative total method).

अवधारणा: PPS प्रतिचयन में इकाई $i$ के चयन की प्रायिकता $p_{i} = X_{i} / X$ आकार-माप के अनुपात में होती है।

बड़ी इकाइयों के चुने जाने की संभावना अधिक होती है।
स्थिर प्रायिकता = सरल यादृच्छिक प्रतिचयन; अन्य विकल्प आकार पर आधारित नहीं।

याद रखें: बड़ा आकार → अधिक प्रायिकता = PPS।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsPPS samplingUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q20.

A sample of size 'n' is drawn with replacement from a dichotomous population. If the sample has proportion p of items of category I and proportion q of category II, then the estimates of proportion p is

आमाप 'n' का एक प्रतिदर्श प्रतिस्थापना सहित एक द्विभाषी जनसंख्या से लिया गया है । यदि प्रतिदर्श में श्रेणी I की वस्तुओं का अनुपात p और श्रेणी II का अनुपात q है, तो अनुपात p का मान है

A $s_{p}^{2} = \frac{1}{n - 1} p q$
B $s_{p}^{2} = \frac{1}{n} p q$
C $s_{p}^{2} = \frac{n}{n - 1} p q$
D $s_{p}^{2} = \frac{1}{n - 1} p^{2} q$

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Concept: For SRSWR, $V (p) = \frac{P Q}{n}$ and its unbiased estimate is $s_{p}^{2} = v (p) = \frac{p q}{n - 1}$ .

$E (p q) = P Q - V (p) = P Q (1 - \frac{1}{n}) = \frac{n - 1}{n} P Q$ .
So $E (\frac{p q}{n - 1}) = \frac{P Q}{n} = V (p)$ – unbiased.
$\frac{p q}{n}$ is biased; $\frac{n}{n - 1} p q$ estimates $P Q$ (population variance), not $V (p)$ .

Short trick: Variance of proportion: true $P Q / n$ , estimate $p q / (n - 1)$ .

अवधारणा: प्रतिस्थापन सहित प्रतिचयन में $V (p) = \frac{P Q}{n}$ तथा इसका अनभिनत आकलक $s_{p}^{2} = \frac{p q}{n - 1}$ ।

$E (p q) = \frac{n - 1}{n} P Q$ ।
अतः $E (\frac{p q}{n - 1}) = \frac{P Q}{n}$ – अनभिनत।
$\frac{p q}{n}$ अभिनत है; $\frac{n}{n - 1} p q$ , $P Q$ का आकलक है।

याद रखें: वास्तविक $P Q / n$ , आकलक $p q / (n - 1)$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsEstimation of variance of a sample proportionUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2