UPHESC Assistant Professor Statistics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 PYQs

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100 questions.

Q41.

If the origin in the trend equation y = a + bx is shifted backward by two years, then the variable X in the trend equation will be replaced by

यदि उपनति समीकरण y = a + bx में मूल बिंदु को दो वर्ष पीछे स्थानांतरित कर दिया जाय, तो उपनति समीकरण में चर X को _______ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा ।

A(X – 2)
B(X + 2)
C $\frac{X}{2}$
D $(X + 2)^{2}$

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Concept: If the origin moves $k$ years forward, $X$ is replaced by $X + k$ ; if it moves $k$ years backward, $X$ is replaced by $X - k$ .

Old origin $O$ , new origin $O^{'} = O - 2$ . A year's new code is $X^{'} = X + 2$ , so $X = X^{'} - 2$ .
Substituting: $y = a + b (X - 2) = (a - 2 b) + b X$ – the intercept becomes the trend value two years earlier.
Hence X is replaced by $(X - 2)$ .

Short trick: Origin back by k → (X − k); origin forward by k → (X + k).

अवधारणा: मूल बिन्दु $k$ वर्ष आगे करने पर $X$ के स्थान पर $X + k$ तथा $k$ वर्ष पीछे करने पर $X - k$ रखते हैं।

नया मूल $O^{'} = O - 2$ ; नया कोड $X^{'} = X + 2$ , अतः $X = X^{'} - 2$ ।
$y = a + b (X - 2) = (a - 2 b) + b X$ – अंतःखंड दो वर्ष पहले का उपनति मान बन जाता है।
अतः X को $(X - 2)$ से प्रतिस्थापित करेंगे।

याद रखें: पीछे k → (X − k); आगे k → (X + k)।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsShifting the origin of a trend equationUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q42.

For the given five values 15, 24, 18, 33 and 42, the three years moving averages are

दिए गए पाँच मानों 15, 24, 18, 33 और 42 के लिए तीन वर्षों के चल औसत हैं

A19, 22, 33
B19, 25, 31
C19, 30, 31
D19, 31, 33

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Concept: A 3-year moving average averages each consecutive block of three values.

$(15 + 24 + 18) / 3 = 57 / 3 = 19$
$(24 + 18 + 33) / 3 = 75 / 3 = 25$
$(18 + 33 + 42) / 3 = 93 / 3 = 31$

Short trick: Next MA = previous MA + (new − dropped)/3: 19 + (33−15)/3 = 25, 25 + (42−24)/3 = 31.

अवधारणा: 3-वर्षीय चल माध्य में लगातार तीन-तीन मानों का औसत लेते हैं।

$(15 + 24 + 18) / 3 = 19$
$(24 + 18 + 33) / 3 = 25$
$(18 + 33 + 42) / 3 = 31$

याद रखें: अगला चल माध्य = पिछला + (नया − हटाया)/3।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsMoving averagesUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q43.

In post-independent India, the registration of Births and Deaths Act was passed on

भारत की स्वतंत्रता के बाद, जन्म और मृत्यु पंजीकरण अधिनियम _________ में पारित किया गया था ।

A1948
B1959
C1969
D1979

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Concept: The Registration of Births and Deaths (RBD) Act, 1969 made registration of births and deaths compulsory throughout India (in force from 1970).

Before 1969 registration was governed by scattered provincial laws (e.g. Births, Deaths and Marriages Registration Act, 1886).
The Registrar General of India coordinates registration under the 1969 Act; it was amended in 2023 (digital registration).
1948 = Census Act; 1959/1979 are not related acts.

Short trick: RBD Act 1969 – '69 for vital statistics'.

अवधारणा: जन्म और मृत्यु पंजीकरण अधिनियम, 1969 ने पूरे भारत में जन्म-मृत्यु का पंजीकरण अनिवार्य किया (1970 से लागू)।

1969 से पहले पंजीकरण बिखरे हुए प्रांतीय कानूनों से होता था।
इस अधिनियम के अंतर्गत भारत के महापंजीयक समन्वय करते हैं; 2023 में संशोधन हुआ।
1948 = जनगणना अधिनियम; 1959/1979 संबंधित नहीं।

याद रखें: RBD अधिनियम = 1969।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsVital statistics registration in IndiaUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q44.

The range of homogeneity error in reference to index numbers is

सूचकांक संख्या के संदर्भ में समरूपता त्रुटि की सीमा __________ होती है ।

A0 to 10 से 1
B0 to $\infty$ 0 से $\infty$
C–1 to 1–1 से 1
D $- \infty$ to $\infty$ $- \infty$ से $\infty$

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Concept: Index numbers suffer from formula error, sampling (selection) error and homogeneity error; the last arises when the commodities/qualities in the base and current periods are not the same.

Because the basket changes (new items, quality changes, items dropped), the index may be pushed either up or down.
Thus the error can be positive or negative and has no fixed bound – it is not a ratio confined to [0, 1] or [–1, 1].
Hence its range is $- \infty$ to $\infty$ .

Short trick: Homogeneity error: sign free, size free → (−∞, ∞).

अवधारणा: सूचकांक में सूत्र त्रुटि, प्रतिचयन त्रुटि तथा समरूपता त्रुटि होती है; समरूपता त्रुटि तब आती है जब आधार व चालू वर्ष की वस्तुएँ/गुणवत्ता समान न हों।

वस्तु-समूह बदलने से सूचकांक ऊपर या नीचे दोनों ओर खिसक सकता है।
अतः यह त्रुटि धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है और इसकी कोई निश्चित सीमा नहीं है।
इसलिए परास $- \infty$ से $\infty$ ।

याद रखें: समरूपता त्रुटि: चिह्न व आकार दोनों मुक्त → (−∞, ∞)।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsErrors in index numbersUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q45.

If the group indices are 80, 120 and 125 and their respective group weights are 60, 20 and 20, then the consumer price index is

यदि समूह सूचकांक 80, 120 और 125 है और उनके संबंधित समूह भार 60, 20 और 20 है, तो उपभोक्ता मूल्य सूचकांक हैं

A108.33
B97.00
C98.49
D101.41

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Concept: CPI (family budget method) $= \frac{\sum I W}{\sum W}$ .

$\sum I W = 80 (60) + 120 (20) + 125 (20) = 4800 + 2400 + 2500 = 9700$ .
$\sum W = 100$ , so CPI $= 97.00$ .

Short trick: Weighted A.M. of group indices.

अवधारणा: CPI (पारिवारिक बजट विधि) $= \frac{\sum I W}{\sum W}$ ।

$\sum I W = 4800 + 2400 + 2500 = 9700$ ।
$\sum W = 100$ , अतः CPI $= 97.00$ ।

याद रखें: समूह सूचकांकों का भारित समांतर माध्य।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsConsumer price indexUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q46.

Let

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{21}

be a random sample from a distribution having the sample variance 5.
Let

\bar{X} = \frac{1}{21} \sum_{i = 1}^{21} X_{i}

and

S = \sum_{i = 1}^{21} (X_{i} - \bar{X})^{2}

, then the value of E(S) is

मान लीजिए

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{21}

एक बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जिसका प्रतिदर्श प्रसरण 5 है । माना

\bar{X} = \frac{1}{21} \sum_{i = 1}^{21} X_{i}

और

S = \sum_{i = 1}^{21} (X_{i} - \bar{X})^{2}

, तो E(S) का मान है

A5
B100
C0.25
D105

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Concept: $E [\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ , since $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ is unbiased for $σ^{2}$ .

The variance of the distribution sampled is 5, $n = 21$ .
$E (S) = (21 - 1) \times 5 = 100$ .
105 would wrongly use $n$ instead of $n - 1$ .

Short trick: One d.f. is lost to $\bar{X}$ : multiply by (n − 1).

अवधारणा: $E [\sum (X_{i} - \bar{X})^{2}] = (n - 1) σ^{2}$ , क्योंकि $s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum (X_{i} - \bar{X})^{2}$ अनभिनत है।

बंटन का प्रसरण 5, $n = 21$ ।
$E (S) = 20 \times 5 = 100$ ।
105 में $n - 1$ के स्थान पर $n$ लिया गया है – गलत।

याद रखें: $\bar{X}$ के कारण एक स्वातंत्र्य कोटि घटती है: (n − 1) से गुणा।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsExpectation of sum of squaresUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q47.

Let X and Y be two independent normal random variables, then the distribution of

U = {(\frac{x - y}{x + y})}^{2}

मान लीजिए X और Y दो स्वतंत्र प्रसामान्य यादृच्छिक चर है, तो

U = {(\frac{x - y}{x + y})}^{2}

का बंटन है

AChi-square with 2d.f.2d.f. के साथ काई–वर्ग
BChi-square with 1d.f.1d.f. के साथ काई–वर्ग
CF with (2, 2) d.f.(2, 2) d.f. के साथ F
DF with (1, 1) d.f.(1, 1) d.f. के साथ F

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Concept: For i.i.d. $N (0, σ^{2})$ variables, $X - Y$ and $X + Y$ are independent $N (0, 2 σ^{2})$ .

$\frac{(X - Y)^{2}}{2 σ^{2}} \sim χ_{1}^{2}$ and $\frac{(X + Y)^{2}}{2 σ^{2}} \sim χ_{1}^{2}$ , independent.
$U = \frac{χ_{1}^{2} / 1}{χ_{1}^{2} / 1} \sim F_{1, 1}$ .
Equivalently $\frac{X - Y}{X + Y}$ is Cauchy and the square of a Cauchy ( $t_{1}$ ) variate is $F_{1, 1}$ .

Short trick: $t_{n}^{2} = F_{1, n}$ ; Cauchy = $t_{1}$ ⇒ square is $F_{1, 1}$ .

अवधारणा: i.i.d. $N (0, σ^{2})$ चरों के लिए $X - Y$ और $X + Y$ स्वतंत्र $N (0, 2 σ^{2})$ होते हैं।

दोनों के मानकीकृत वर्ग स्वतंत्र $χ_{1}^{2}$ हैं।
$U = \frac{χ_{1}^{2} / 1}{χ_{1}^{2} / 1} \sim F_{1, 1}$ ।
$\frac{X - Y}{X + Y}$ कॉशी ( $t_{1}$ ) है, इसका वर्ग $F_{1, 1}$ ।

याद रखें: $t_{n}^{2} = F_{1, n}$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSampling distributions (F)UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q48.

Let the random variable X have binomial distribution with parameters 3 and

θ

. A test of hypothesis

H_{0} : θ = \frac{3}{4}

against

H_{1} : θ = \frac{1}{4}

rejects

H_{0}

X \leq 1

, then the test have

मान लें यादृच्छिक चर X, प्राचल 3 और

θ

के साथ एक द्विपद बंटन रखता है ।

H_{1} : θ = \frac{1}{4}

के विरुद्ध

H_{0} : θ = \frac{3}{4}

परिकल्पना का परीक्षण अस्वीकार होता है यदि

X \leq 1

तब परीक्षण रखता है

ASize = $\frac{5}{32}$ , power = $\frac{27}{32}$ आमाप = $\frac{5}{32}$ , शक्ति = $\frac{27}{32}$
BSize = $\frac{5}{32}$ , power = $\frac{18}{32}$ आमाप = $\frac{5}{32}$ , शक्ति = $\frac{18}{32}$
CSize = $\frac{15}{32}$ , power = $\frac{27}{32}$ आमाप = $\frac{15}{32}$ , शक्ति = $\frac{27}{32}$
DSize = $\frac{1}{32}$ , power = $\frac{31}{32}$ आमाप = $\frac{1}{32}$ , शक्ति = $\frac{31}{32}$

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Concept: Size $= P (X \leq 1 ∣ H_{0})$ , Power $= P (X \leq 1 ∣ H_{1})$ , with $P (X \leq 1) = (1 - θ)^{3} + 3 θ (1 - θ)^{2}$ .

$θ = \frac{3}{4}$ : $\frac{1}{64} + 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1 + 9}{64} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$ .
$θ = \frac{1}{4}$ : $\frac{27}{64} + 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{27 + 27}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32}$ .

Short trick: Same rejection region, two θ's: H₀ gives size, H₁ gives power.

अवधारणा: आमाप $= P (X \leq 1 ∣ H_{0})$ , शक्ति $= P (X \leq 1 ∣ H_{1})$ ; $P (X \leq 1) = (1 - θ)^{3} + 3 θ (1 - θ)^{2}$ ।

$θ = \frac{3}{4}$ : $\frac{1 + 9}{64} = \frac{5}{32}$ ।
$θ = \frac{1}{4}$ : $\frac{27 + 27}{64} = \frac{27}{32}$ ।

याद रखें: एक ही अस्वीकृति क्षेत्र: H₀ से आमाप, H₁ से शक्ति।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSize and power of a testUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q49.

If larger units have greater probability of their inclusion in the sample, it is known as

यदि बड़ी इकाइयों के प्रतिदर्श में शामिल होने की अधिक प्रायिकता है, तो यह ज्ञात है

ASelection with replacementप्रतिस्थापन के साथ चयन
BSelection with probability proportional to sizeआकार के अनुपात में प्रायिकता के साथ चयन
CSelection with constant probabilityस्थिरांक प्रायिकता के साथ चयन
DProbability selectionप्रायिकता चयन

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Concept: In PPS sampling unit $i$ is drawn with probability $p_{i} = X_{i} / X$ , proportional to a size measure $X_{i}$ .

Larger units (bigger $X_{i}$ ) therefore have higher chance of selection.
Constant probability = SRS; 'with replacement' and 'probability selection' are general terms, not size-based.

Short trick: Bigger size → bigger chance = PPS (Lahiri's / cumulative total method).

अवधारणा: PPS प्रतिचयन में इकाई $i$ के चयन की प्रायिकता $p_{i} = X_{i} / X$ आकार-माप के अनुपात में होती है।

बड़ी इकाइयों के चुने जाने की संभावना अधिक होती है।
स्थिर प्रायिकता = सरल यादृच्छिक प्रतिचयन; अन्य विकल्प आकार पर आधारित नहीं।

याद रखें: बड़ा आकार → अधिक प्रायिकता = PPS।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsPPS samplingUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q50.

A sample of size 'n' is drawn with replacement from a dichotomous population. If the sample has proportion p of items of category I and proportion q of category II, then the estimates of proportion p is

आमाप 'n' का एक प्रतिदर्श प्रतिस्थापना सहित एक द्विभाषी जनसंख्या से लिया गया है । यदि प्रतिदर्श में श्रेणी I की वस्तुओं का अनुपात p और श्रेणी II का अनुपात q है, तो अनुपात p का मान है

A $s_{p}^{2} = \frac{1}{n - 1} p q$
B $s_{p}^{2} = \frac{1}{n} p q$
C $s_{p}^{2} = \frac{n}{n - 1} p q$
D $s_{p}^{2} = \frac{1}{n - 1} p^{2} q$

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Concept: For SRSWR, $V (p) = \frac{P Q}{n}$ and its unbiased estimate is $s_{p}^{2} = v (p) = \frac{p q}{n - 1}$ .

$E (p q) = P Q - V (p) = P Q (1 - \frac{1}{n}) = \frac{n - 1}{n} P Q$ .
So $E (\frac{p q}{n - 1}) = \frac{P Q}{n} = V (p)$ – unbiased.
$\frac{p q}{n}$ is biased; $\frac{n}{n - 1} p q$ estimates $P Q$ (population variance), not $V (p)$ .

Short trick: Variance of proportion: true $P Q / n$ , estimate $p q / (n - 1)$ .

अवधारणा: प्रतिस्थापन सहित प्रतिचयन में $V (p) = \frac{P Q}{n}$ तथा इसका अनभिनत आकलक $s_{p}^{2} = \frac{p q}{n - 1}$ ।

$E (p q) = \frac{n - 1}{n} P Q$ ।
अतः $E (\frac{p q}{n - 1}) = \frac{P Q}{n}$ – अनभिनत।
$\frac{p q}{n}$ अभिनत है; $\frac{n}{n - 1} p q$ , $P Q$ का आकलक है।

याद रखें: वास्तविक $P Q / n$ , आकलक $p q / (n - 1)$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsEstimation of variance of a sample proportionUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q51.

Non-response in Surveys mean

सर्वेक्षणों में गैर प्रतिक्रिया का अर्थ होता है

ANon-availability of respondentsउत्तरदाताओं की अनुपलब्धता
BNon-return of questionnaire by respondentउत्तरदाताओं द्वारा प्रश्नावली वापस न करना
CRefusal to give information by the respondentप्रतिवादियों द्वारा सूचना देने से इनकार
DAll the aboveउपरोक्त सभी

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Concept: Non-response = failure to obtain information from a selected unit, for any reason.

Not-at-home / non-availability, non-return of mailed questionnaires and outright refusal are all forms of non-response.
It is a non-sampling error; handled by call-backs, Hansen–Hurwitz sub-sampling, Politz–Simmons method.

Short trick: Any reason for 'no data from a selected unit' = non-response.

अवधारणा: चुनी गई इकाई से किसी भी कारण से सूचना न मिल पाना अनुत्तर (non-response) है।

अनुपलब्धता, प्रश्नावली न लौटाना और सूचना देने से इनकार – सभी अनुत्तर हैं।
यह अप्रतिचयन त्रुटि है; उपचार: पुनः संपर्क, हैनसेन–हरविट्ज़ उप-प्रतिचयन।

याद रखें: चयनित इकाई से आँकड़ा न मिलना = अनुत्तर।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsNon-sampling errors: non-responseUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q52.

Arrange the following designs in ascending order of complexity.
a. Completely random design
b. Randomized block design
c. Latin square design
d. Balance incomplete block design
Choose the correct answer from the options given below.

निम्नलिखित अभिकल्पों को जटिलता के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें ।
a. पूर्ण यादृच्छिक अभिकल्पना
b. यादृच्छिक खण्ड अभिकल्पना
c. लैटिन वर्ग अभिकल्पना
d. संतुलित अपूर्ण खण्ड अभिकल्पना
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

Ad, c, a
Ba, b, c
Ca, d, c
Db, a, c

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Concept: Complexity grows with the number of restrictions on randomisation / sources of variation controlled.

CRD: no local control – one-way ANOVA (simplest).
RBD: one restriction (blocks) – two-way ANOVA.
LSD: two restrictions (rows and columns) – three-way classification.
So a → b → c; BIBD (d) is more complex still, and options with d first or between a and c are wrong.

Short trick: CRD (0 blocking) → RBD (1) → LSD (2).

अवधारणा: यादृच्छिकरण पर प्रतिबंधों (नियंत्रित स्रोतों) की संख्या बढ़ने से जटिलता बढ़ती है।

CRD: कोई स्थानीय नियंत्रण नहीं – एकमार्गी ANOVA।
RBD: एक प्रतिबंध (खण्ड)।
LSD: दो प्रतिबंध (पंक्ति व स्तंभ)।
अतः a → b → c; BIBD (d) इससे भी जटिल है।

याद रखें: CRD (0) → RBD (1) → LSD (2) अवरोधन।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsBasic experimental designsUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q53.

Arrange the following convergence concepts in ascending order of their strength (weakest to strongest).
a. Convergence in probability
b. Convergence in distribution
c. Almost sure convergence
Choose the correct answer from the options given below.

निम्नलिखित अभिसरण अवधारणाओं को उनकी शक्ति के आरोही क्रम से व्यवस्थित करें (सबसे कमजोर से सबसे मजबूत तक) ।
a. प्रायिकता में अभिसरण
b. बंटन में अभिसरण
c. लगभग निश्चित अभिसरण
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर दीजिए :

Ac, b, a onlyकेवल c, b, a
Bb, c, a onlyकेवल b, c, a
Ca, b, c onlyकेवल a, b, c
Db, a, c onlyकेवल b, a, c

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Concept: Almost sure ⇒ in probability ⇒ in distribution (converses fail in general).

The weakest mode is the one implied by all others: convergence in distribution.
Convergence in probability is in the middle.
Almost sure convergence is strongest. Order: b, a, c.

Short trick: a.s. ⇒ P ⇒ D: read it backwards for weakest → strongest.

अवधारणा: लगभग निश्चित ⇒ प्रायिकता में ⇒ बंटन में (उलटा सामान्यतः सत्य नहीं)।

सबसे कमजोर: बंटन में अभिसरण।
मध्य: प्रायिकता में अभिसरण।
सबसे मजबूत: लगभग निश्चित। क्रम: b, a, c।

याद रखें: a.s. ⇒ P ⇒ D; उल्टा पढ़ें = कमजोर से मजबूत।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsModes of convergenceUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q54.

Arrange the following methods in descending order of their general applicability to multivariate data :
a. Mahalanobis Distance
b. Principal Component Analysis
c. Factor Analysis
Choose the correct answer from the options given below :

बहुचर आंकड़ो पर उनकी सामान्य प्रयोज्यता के अवरोही क्रम में निम्नलिखित विधियों को व्यवस्थित करें :
a. महालनोबिस दूरी
b. प्रमुख घटक विश्लेषण
c. कारक विश्लेषण
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए :

Ac, b, a onlyकेवल c, b, a
Ba, b, c onlyकेवल a, b, c
Cb, c, a onlyकेवल b, c, a
Dc, a, b onlyकेवल c, a, b

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Concept: PCA is a model-free, purely variance-based technique usable on almost any multivariate data set; factor analysis needs a latent-factor model; Mahalanobis distance is a specific distance measure for a particular purpose.

PCA (b): only needs a covariance/correlation matrix – most general (data reduction, visualisation, pre-processing).
Factor analysis (c): assumes the common-factor model $X = Λ F + ε$ – narrower than PCA.
Mahalanobis distance (a): a single tool for distance/classification/outlier detection – most specific.
Descending order: b, c, a.

Short trick: General tool → model-based tool → single-purpose measure.

अवधारणा: PCA मॉडल-मुक्त तकनीक है जो लगभग किसी भी बहुचर आँकड़े पर लागू होती है; कारक विश्लेषण को गुप्त कारक मॉडल चाहिए; महालनोबिस दूरी एक विशिष्ट दूरी माप है।

PCA (b): केवल सहप्रसरण/सहसंबंध आव्यूह चाहिए – सबसे व्यापक।
कारक विश्लेषण (c): मॉडल $X = Λ F + ε$ पर आधारित – PCA से संकीर्ण।
महालनोबिस दूरी (a): दूरी/वर्गीकरण/बहिर्मूल्य हेतु विशिष्ट उपकरण।
अवरोही क्रम: b, c, a।

याद रखें: व्यापक उपकरण → मॉडल-आधारित → एकल-उद्देश्य माप।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsMultivariate techniquesUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q55.

Given below are two statements, one is labelled as Assertion (A) and the other as Reason (R).
Assertion (A) : In a BIBD Incomplete Block design, each treatments appears in the same number of blocks.
Reason (R) : In a BIBD, the number of blocks, the number of treatments per block and number of replications of each treatment are all determined by specific combinational properties.
Select the correct answer from the codes given below :

नीचे दो कथन है, जिनमें से एक को अभिकथन (A) तथा दूसरे को कारण (R) कहा गया है ।
अभिकथन (A) : संतुलित अपूर्ण खण्डक अभिकल्पना में प्रत्येक उपचार समान संख्या में खण्डों में दिखाई देता है ।
कारण (R) : BIBD में, खण्डों की संख्या, प्रति खण्ड उपचारों की संख्या और प्रत्येक उपचार की प्रतिकृति की संख्या सभी विशिष्ट संयोजन गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है ।
नीचे दिए गए कूट से सही उत्तर चुनिए :

ABoth (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सत्य हैं और (R), (A) की सही व्याख्या करता हैं
BBoth (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सत्य हैं परन्तु (R), (A) की सही व्याख्या नहीं करता हैं
C(A) is true but (R) is false(A) सत्य है परन्तु (R) गलत है
D(A) is false but (R) is true(A) गलत है परन्तु (R) सत्य है

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Concept: A BIBD $(v, b, r, k, λ)$ arranges $v$ treatments in $b$ blocks of size $k$ so that every treatment occurs in $r$ blocks and every pair together in $λ$ blocks.

(A) is true: equal replication $r$ for every treatment is part of the structure.
(R) is true: the parameters are tied by the combinatorial relations $v r = b k$ , $λ (v - 1) = r (k - 1)$ , $b \geq v$ .
These relations fix $r$ uniquely for all treatments ( $r = b k / v$ ), which is why each treatment appears in the same number of blocks – (R) explains (A).

Short trick: BIBD identities: $v r = b k$ and $λ (v - 1) = r (k - 1)$ .

अवधारणा: BIBD $(v, b, r, k, λ)$ में $v$ उपचार $k$ आकार के $b$ खण्डों में ऐसे रखे जाते हैं कि प्रत्येक उपचार $r$ खण्डों में और प्रत्येक युग्म $λ$ खण्डों में आए।

(A) सत्य: सभी उपचारों की प्रतिकृति $r$ समान।
(R) सत्य: प्राचल संयोजी संबंधों $v r = b k$ , $λ (v - 1) = r (k - 1)$ से बंधे हैं।
इन संबंधों से $r = b k / v$ सभी उपचारों के लिए एक ही निर्धारित होता है – अतः (R), (A) की व्याख्या करता है।

याद रखें: BIBD सर्वसमिकाएँ: $v r = b k$ , $λ (v - 1) = r (k - 1)$ ।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsBalanced incomplete block designUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q56.

Arrange the following steps in a sequence :
I. Identify the factors and their levels.
II. Define the objective and the response variable to be measured.
III. Conduct the experiment by applying the different combinations of factors levels.
IV. Randomly assign the treatment to the experimental Units.
Choose the correct answer from the code given below :

निम्न को एक अनुक्रम में व्यवस्थित कीजिए :
I. कारकों और उनके स्तरों की पहचान करें ।
II. उद्देश्य और प्रतिक्रिया चर को परिभाषित करें ।
III. कारकों के विभिन्न संयोजनों को लागू करके प्रयोग का संचालन करें ।
IV. प्रयोगात्मक इकाइयों को उपचार यादृच्छिक रूप से आवंटित करें ।
नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए :

AI, II, IV, III
BI, IV, III, II
CII, III, IV, I
DI, III, II, IV

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Concept: Planning (factors, objective/response) comes first, then randomisation, then running the experiment.

Choosing factors/levels and defining the response are the two planning steps; Montgomery notes they are often done together or in reverse order.
Randomisation of treatments to units (IV) must precede conducting the trial (III).
Only option (A) has both planning steps first and IV before III: I, II, IV, III. Options with III before IV, or with planning steps at the end, are impossible.

Short trick: Plan → randomise → run.

अवधारणा: पहले योजना (कारक, उद्देश्य/प्रतिक्रिया चर), फिर यादृच्छिक आवंटन, फिर प्रयोग का संचालन।

कारक/स्तर चुनना और प्रतिक्रिया चर परिभाषित करना योजना के दो चरण हैं; मॉण्टगोमरी के अनुसार ये प्रायः साथ-साथ या उल्टे क्रम में होते हैं।
उपचारों का यादृच्छिक आवंटन (IV) प्रयोग संचालन (III) से पहले होना चाहिए।
केवल विकल्प (A) में योजना पहले और IV, III से पहले है: I, II, IV, III।

याद रखें: योजना → यादृच्छिकरण → संचालन।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSteps in planning an experimentUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q57.

Let

X_{1}, X_{2}, X_{3}

be independent random variables with

X_{k}

(k = 1, 2, 3), the probability density function
$f_k(x)=\begin{cases}k\theta e^{-k\theta x}, & \text{if } 0 < x < \infty\\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$
where $\theta>0

, t h e s u f f i c i e n t s t a t i s t i c s f o r

\theta$ is

मान ले कि

X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{k}

(k = 1, 2, 3) के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर है, प्रायिकता घनत्व फलन

f_{k} (x) = k θ e^{- k θ x}

, यदि $0 < x < \infty$

f_{k} (x) = 0

, अन्यथा
जहाँ $\theta>0

,

\theta$ के लिए पर्याप्त आँकड़े हैं

A $X_{1} + X_{2} + X_{3}$
B $3 X_{1} + 2 X_{2} + X_{3}$
C $X_{1} + X_{2} + 3 X_{2}$
D $X_{1} + 2 X_{2} + 3 X_{3}$

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Concept: Neyman factorisation: $T$ is sufficient if $L (θ) = g (T, θ) h (x)$ .

$L = \prod_{k = 1}^{3} k θ e^{- k θ x_{k}} = 6 θ^{3} e^{- θ (x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3})}$ .
$θ$ enters only through $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ .
So $T = X_{1} + 2 X_{2} + 3 X_{3}$ is sufficient (the rates are $θ, 2 θ, 3 θ$ , so weights are 1, 2, 3).

Short trick: Weight each $X_{k}$ by its own rate multiplier k.

अवधारणा: नेमैन गुणनखंडन: $L (θ) = g (T, θ) h (x)$ हो तो $T$ पर्याप्त है।

$L = 6 θ^{3} e^{- θ (x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3})}$ ।
$θ$ केवल $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3}$ के माध्यम से आता है।
अतः $X_{1} + 2 X_{2} + 3 X_{3}$ पर्याप्त प्रतिदर्शज है।

याद रखें: प्रत्येक $X_{k}$ को उसकी दर k से भारित करें।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsSufficient statistic (factorisation theorem)UPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q58.

Standard deviation of the observations

- \sqrt{1}, - \sqrt{2}, - \sqrt{3}, - \sqrt{4}, - \sqrt{5}, - \sqrt{6}, - \sqrt{7}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}

निम्न प्रेक्षणों का मानक विचलन हैं

- \sqrt{1}, - \sqrt{2}, - \sqrt{3}, - \sqrt{4}, - \sqrt{5}, - \sqrt{6}, - \sqrt{7}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}

A $\sqrt{2}$
B2
C $2 \sqrt{2}$
D4

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Concept: $σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}$ .

The values are symmetric about 0, so $\bar{x} = 0$ .
$\sum x^{2} = 2 (1 + 2 + \dots + 7) = 2 \times 28 = 56$ , $n = 14$ .
$σ^{2} = 56 / 14 = 4$ , $σ = 2$ .

Short trick: Symmetric ± pairs: mean 0, S.D. = $\sqrt{mean of squares}$ .

अवधारणा: $σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{n} - {\bar{x}}^{2}$ ।

मान 0 के सापेक्ष सममित हैं, अतः $\bar{x} = 0$ ।
$\sum x^{2} = 2 \times 28 = 56$ , $n = 14$ ।
$σ^{2} = 4$ , $σ = 2$ ।

याद रखें: ± युग्म: माध्य 0, S.D. = वर्गों के माध्य का वर्गमूल।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsStandard deviationUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q59.

A random variable X is such that

X	$μ + σ$	$μ - σ$
P(X)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

then the coefficient of Kurtosis

β_{2}

यादृच्छिक चर X ऐसा है कि

X	$μ + σ$	$μ - σ$
P(X)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

तब कुकुदता गुणांक

β_{2}

होगा

A0
B1
C $σ^{2}$
D $σ^{4}$

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Concept: $β_{2} = μ_{4} / μ_{2}^{2}$ .

$X - μ = \pm σ$ , each with probability ½.
$μ_{2} = σ^{2}$ , $μ_{4} = σ^{4}$ .
$β_{2} = σ^{4} / σ^{4} = 1$ – the minimum possible value of $β_{2}$ (two-point symmetric distribution).

Short trick: $β_{2} \geq 1$ always; equality only for a symmetric two-point law.

अवधारणा: $β_{2} = μ_{4} / μ_{2}^{2}$ ।

$X - μ = \pm σ$ , प्रत्येक प्रायिकता ½।
$μ_{2} = σ^{2}$ , $μ_{4} = σ^{4}$ ।
$β_{2} = 1$ – $β_{2}$ का न्यूनतम संभव मान।

याद रखें: $β_{2} \geq 1$ सदैव; समता केवल सममित द्वि-बिन्दु बंटन में।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsKurtosisUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2

Q60.

What happens to the growth rate

(\frac{d N}{d t})

in the logistic model as N approaches K, when K is the carrying capacity ?

जैसे जैसे N, K के करीब पहुँचता है, लॉजिस्टिक माडल में विकास दर

(\frac{d N}{d t})

का क्या होता है ? जहाँ K वहन क्षमता है

AIt becomes negativeयह नकारात्मक हो जाता है
BIt approaches zeroयह शून्य के करीब पहुँचता है
CIt remains constantयह स्थिर रहता है
DIt increases exponentiallyयह बहुत तेजी से बढ़ता है

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Concept: Logistic model: $\frac{d N}{d t} = r N (1 - \frac{N}{K})$ .

As $N \to K$ , the factor $1 - \frac{N}{K} \to 0$ , so $\frac{d N}{d t} \to 0$ .
Growth is fastest at $N = K / 2$ and levels off at the carrying capacity.
It becomes negative only if $N>K$.

Short trick: S-curve flattens at K: growth rate → 0.

अवधारणा: लॉजिस्टिक मॉडल: $\frac{d N}{d t} = r N (1 - \frac{N}{K})$ ।

$N \to K$ पर $1 - \frac{N}{K} \to 0$ , अतः $\frac{d N}{d t} \to 0$ ।
वृद्धि $N = K / 2$ पर अधिकतम होती है और K पर स्थिर हो जाती है।
ऋणात्मक केवल $N>K$ होने पर।

याद रखें: S-वक्र K पर समतल: वृद्धि दर → 0।

UPHESC Assistant Professor StatisticsStatisticsLogistic growth modelUPHESC Assistant Professor Statistics 2025 · 17 Apr Shift 2