UPHESC Assistant Professor Physics · 100 questions

UPHESC Assistant Professor Physics 2025 PYQs

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100 questions.

Q61.

Choose the correct option for an output transducer.

आउटपुट ट्रान्सड्यूसर के बारे में सही विकल्प का चुनाव कीजिए ।

AIt converts electrical quantity into non-electrical quantityयह विद्युत राशि को गैर-विद्युत राशि में परिवर्तित करता है
BIt converts non-electrical quantity to electrical quantityयह गैर-विद्युत राशि को विद्युत राशि में परिवर्तित करता है
CPhoto resistor is a output transducerफोटो रेजिस्टर एक आउटपुट ट्रान्सड्यूसर है
DThermistor is a output transducerथर्मिस्टर एक आउटपुट ट्रान्सड्यूसर है

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Concept: Input transducer (sensor): physical → electrical; output transducer (actuator): electrical → physical.

Output transducers: loudspeaker, motor, LED, relay, heater.
Photoresistor (LDR) and thermistor sense light/temperature and give an electrical change – input transducers.

Short trick: Output transducer ‘outputs’ to the world: electrical → sound/motion/light.

अवधारणा: इनपुट ट्रान्सड्यूसर (संवेदक): भौतिक → विद्युत; आउटपुट ट्रान्सड्यूसर: विद्युत → भौतिक (गैर-विद्युत)।

उदाहरण: लाउडस्पीकर, मोटर, LED, रिले।
LDR व थर्मिस्टर प्रकाश/ताप को विद्युत परिवर्तन में बदलते हैं – इनपुट ट्रान्सड्यूसर।

याद रखें: आउटपुट = विद्युत से ध्वनि/गति/प्रकाश।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsTransducersUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q62.

Arrange the following steps in a sequence.
I. Define the parameter space.
II. Evaluate the quantity of interest at each point.
III. Randomly sample points within the parameter space.
IV. Compute the statistical average of the result.
Choose the correct answer from the codes given below.

निम्नलिखित चरणों को एक अनुक्रम में व्यवस्थित कीजिए ।
I. पैरामीटर स्पेस को परिभाषित करें ।
II. प्रत्येक बिन्दु पर रुचि का मूल्यांकन करें ।
III. पैरामीटर स्पेस के भीतर यादृच्छिक रूप से नमूना लें ।
IV. परिमाणों के सांख्यिकीय औसत की गणना करना ।
नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए ।

AI, II, IV, III
BI, IV, III, II
CII, III, IV, I
DI, III, II, IV

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Concept: These are the steps of a Monte Carlo simulation/integration.

I: define the domain (parameter space).
III: generate random points in it.
II: evaluate the function/quantity at each point.
IV: average the results (estimate ± statistical error ∝ $1 / \sqrt{N}$ ).

Short trick: Define → Sample → Evaluate → Average (I-III-II-IV).

अवधारणा: ये मोंटे कार्लो अनुकरण/समाकलन के चरण हैं।

I: पैरामीटर स्पेस परिभाषित करें।
III: उसमें यादृच्छिक बिन्दु लें।
II: प्रत्येक बिन्दु पर राशि का मान निकालें।
IV: परिणामों का औसत लें (त्रुटि ∝ $1 / \sqrt{N}$ )।

याद रखें: परिभाषित → नमूना → मूल्यांकन → औसत (I-III-II-IV)।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsMonte Carlo methodUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q63.

The molecule

^{17} O_{2}

is
a. Raman active but NMR inactive
b. Infrared active and Raman active but NMR inactive
c. Raman active and NMR active
d. Only NMR active
Choose the correct answer from the options given below :

अणु

^{17} O_{2}

है
a. रमन सक्रिय परन्तु NMR असक्रिय
b. अवरक्त सक्रिय और रमन सक्रिय लेकिन NMR असक्रिय
c. रमन सक्रिय और NMR सक्रिय
d. केवल NMR सक्रिय
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए ।

AOnly a and bकेवल a और b
BOnly bकेवल b
COnly cकेवल c
DOnly b and dकेवल b और d

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Concept: IR needs a changing dipole; Raman needs a changing polarizability; NMR needs nuclear spin $I \neq 0$ .

$^{17}$ O $_{2}$ is homonuclear diatomic → no dipole → IR inactive (so b, d wrong).
Polarizability changes on vibration/rotation → Raman active.
$^{17}$ O has $I = 5 / 2$ → NMR active (so a wrong).

Short trick: $^{16}$ O: $I = 0$ (NMR silent); $^{17}$ O: $I = 5 / 2$ (NMR active).

अवधारणा: IR हेतु द्विध्रुव परिवर्तन, रमन हेतु ध्रुवणता परिवर्तन, NMR हेतु नाभिकीय प्रचक्रण $I \neq 0$ आवश्यक।

$^{17}$ O $_{2}$ समनाभिकीय द्विपरमाणुक → द्विध्रुव नहीं → IR निष्क्रिय (b, d गलत)।
ध्रुवणता बदलती है → रमन सक्रिय।
$^{17}$ O का $I = 5 / 2$ → NMR सक्रिय (a गलत)।

याद रखें: $^{16}$ O: $I = 0$ ; $^{17}$ O: $I = 5 / 2$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsSpectroscopic activity of moleculesUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q64.

Arrange the following steps in a sequence.
I. Rutherford atomic model.
II. Bohr atomic model.
III. Vector atomic model.
IV. Sommerfeld atomic model
Choose the correct answer from the codes given below.

निम्नलिखित चरणों को एक अनुक्रम में व्यवस्थित कीजिए ।
I. रदरफोर्ड परमाणु मॉडल ।
II. बोहर परमाणु मॉडल ।
III. वेक्टर परमाणु मॉडल ।
IV. सोमरफेल्ड परमाणु मॉडल ।
नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए ।

AI, II, IV, III
BI, IV, III, II
CII, III, IV, I
DI, III, II, IV

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Concept: Chronology of atomic models.

Rutherford nuclear model – 1911.
Bohr quantised circular orbits – 1913.
Sommerfeld elliptical orbits + relativistic correction – 1916.
Vector atom model (space quantisation, electron spin, $\vec{j} = \vec{l} + \vec{s}$ ) – mid-1920s.

Short trick: R → B → S → V (circle, ellipse, then vectors).

अवधारणा: परमाणु मॉडलों का कालक्रम।

रदरफोर्ड नाभिकीय मॉडल – 1911।
बोहर वृत्तीय क्वांटित कक्षाएँ – 1913।
सोमरफेल्ड दीर्घवृत्तीय कक्षाएँ – 1916।
सदिश परमाणु मॉडल (आकाशी क्वांटीकरण, इलेक्ट्रॉन स्पिन) – 1925 के आसपास।

याद रखें: R → B → S → V।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsHistory of atomic modelsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q65.

If J is the total angular momentum number, then what is statistical weight of any energy level ?

यदि J सम्पूर्ण कोणीय संवेग संख्या हो, तो किसी ऊर्जा स्तर का सांख्यिकीय भार क्या होता है ?

A $(2 J + 1)$
B $2 J^{2}$
C $J (J + 1)$
D $J$

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Concept: Statistical weight = number of degenerate states = number of allowed $M_{J}$ values.

$M_{J} = - J, - J + 1, \dots, + J$ → $2 J + 1$ values.
$J (J + 1)$ appears in $| \vec{J} |^{2} = J (J + 1) ℏ^{2}$ , not in degeneracy; $2 n^{2}$ is the H-shell capacity.

Short trick: $g = 2 J + 1$ (count the $M_{J}$ values).

अवधारणा: सांख्यिकीय भार = अपभ्रष्ट अवस्थाओं की संख्या = $M_{J}$ के मानों की संख्या।

$M_{J} = - J, \dots, + J$ → $2 J + 1$ मान।
$J (J + 1)$ तो $| \vec{J} |^{2}$ में आता है, अपभ्रष्टता में नहीं।

याद रखें: $g = 2 J + 1$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsDegeneracy of atomic levelsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q66.

Given below are two statements, one is labelled as Assertion (A) and the other as Reason (R).
Assertion (A) : A boy weights less when immersed in water.
Reason (R) : Newton’s law explains the above phenomenon.
Choose the correct answer from the codes given below :

नीचे दो कथन दिये गये हैं जिनमें से एक को अभिकथन (A) तथा दूसरे को कारण (R) कहा गया है ।
अभिकथन (A) : पानी में डुबाने पर एक लड़के का वजन कम हो जाता है ।
कारण (R) : न्यूटन का नियम उपरोक्त घटना की व्याख्या करता है ।
नीचे दिए गए कूट में से सही उत्तर चुनिए ।

ABoth (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सत्य हैं और (R), (A) की सही व्याख्या करता है
BBoth (A) and (R) are true, but (R) is not the correct explanation of (A)(A) और (R) दोनों सत्य हैं, परन्तु (R), (A) की सही व्याख्या नहीं करता है
C(A) is true, but (R) is false(A) सत्य है, परन्तु (R) गलत है
D(A) is false, but (R) is true(A) गलत है, परन्तु (R) सत्य है

Show answer

Concept: A body immersed in a fluid experiences an upward buoyant force equal to the weight of fluid displaced (Archimedes’ principle).

Apparent weight = $m g - ρ_{w} V g$ , so the boy appears to weigh less – (A) true.
The phenomenon is explained by Archimedes’ principle (buoyancy), not by ‘Newton’s law’ – (R) false.

Short trick: Loss of weight in liquid ⇒ think Archimedes, not Newton.

अवधारणा: द्रव में डूबी वस्तु पर विस्थापित द्रव के भार के बराबर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल लगता है (आर्किमिडीज़ सिद्धांत)।

आभासी भार = $m g - ρ_{w} V g$ , अतः लड़के का भार कम प्रतीत होता है – (A) सत्य।
इसकी व्याख्या आर्किमिडीज़ सिद्धांत करता है, ‘न्यूटन का नियम’ नहीं – (R) असत्य।

याद रखें: द्रव में भार में कमी ⇒ आर्किमिडीज़।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsBuoyancy – Archimedes’ principleUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q67.

For a system in equilibrium, the principle of virtual work states that

संतुलन में किसी प्रणाली के लिए आभासी कार्य के सिद्धान्त के अनुसार

ANet virtual work is positiveपरिणामी आभासी कार्य धनात्मक होता है
BNet virtual work is negativeपरिणामी आभासी कार्य ऋणात्मक होता है
CNet virtual work is zeroपरिणामी आभासी कार्य शून्य होता है
DNone of theseइनमें से कोई नहीं

Show answer

Concept: For a system in static equilibrium with workless constraints, $δ W = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}^{(a)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0$ for every virtual displacement.

Constraint forces do no virtual work, so only applied forces appear.
Extended to dynamics it gives D’Alembert’s principle → Lagrange’s equations.

Short trick: Equilibrium ⇔ $δ W = 0$ .

अवधारणा: कार्यहीन बाधाओं वाली संतुलित प्रणाली में हर आभासी विस्थापन हेतु $δ W = \sum_{i} {\vec{F}}_{i}^{(a)} \cdot δ {\vec{r}}_{i} = 0$ ।

बाधा बल आभासी कार्य नहीं करते।
गतिकी में यह डी’एलम्बर्ट सिद्धांत → लाग्रांज समीकरण देता है।

याद रखें: संतुलन ⇔ $δ W = 0$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsPrinciple of virtual workUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q68.

If a particle follows an orbit described by

r = a (1 + \cos θ)

(where ‘a’ is a constant), then the central force varies inversely of following

यदि कोई कण

r = a (1 + \cos θ)

(जहाँ ‘a’ एक नियतांक है) द्वारा निर्धारित पथ पर चल रहा हो, तो केन्द्रीय बल निम्नलिखित के व्युत्क्रम में परिवर्तित होता है

A $r^{2}$
B $r^{3}$
C $r^{4}$
D $r^{5}$

Show answer

Concept: Binet equation: $F (u) = - \frac{L^{2} u^{2}}{m} (\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u)$ , $u = 1 / r$ .

$u = \frac{1}{a (1 + \cos θ)}$ ; differentiating twice gives $\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{3}{a (1 + \cos θ)^{2}} = 3 a u^{2}$ .
So $F \propto u^{2} \cdot u^{2} = u^{4}$ , i.e. $F \propto \frac{1}{r^{4}}$ .

Short trick: Cardioid orbit ⇒ $1 / r^{4}$ force (circle through centre ⇒ $1 / r^{5}$ ).

अवधारणा: बिने समीकरण: $F (u) = - \frac{L^{2} u^{2}}{m} (\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u)$ , $u = 1 / r$ ।

$u = \frac{1}{a (1 + \cos θ)}$ रखने पर $\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = 3 a u^{2}$ ।
अतः $F \propto u^{4}$ , अर्थात $F \propto \frac{1}{r^{4}}$ ।

याद रखें: कार्डियोइड कक्षा ⇒ $1 / r^{4}$ बल; केन्द्र से गुजरता वृत्त ⇒ $1 / r^{5}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsCentral force – orbit equationUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q69.

A particle is moving with 90% of the velocity of light. The ratio of its rest mass with its relativistic mass is following

एक कण प्रकाश के वेग के 90% से गति कर रहा है । इसके विराम द्रव्यमान तथा इसके सापेक्षित द्रव्यमान का अनुपात निम्नलिखित होता है

A0.436
B2.29
C0.436C
D2.29C

Show answer

Concept: $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}$ ⇒ $\frac{m_{0}}{m} = \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ .

$v = 0.9 c$ : $1 - 0.81 = 0.19$ .
$\sqrt{0.19} = 0.436$ (dimensionless). 2.29 is $m / m_{0} = γ$ .

Short trick: Rest/moving = $1 / γ$ < 1, no units.

अवधारणा: $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}}$ ⇒ $\frac{m_{0}}{m} = \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ ।

$v = 0.9 c$ : $1 - 0.81 = 0.19$ ।
$\sqrt{0.19} = 0.436$ (विमाहीन)। 2.29 तो $γ = m / m_{0}$ है।

याद रखें: विराम/गतिशील = $1 / γ$ < 1।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsRelativistic massUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q70.

If two objects of masses 2 kg and 3 kg moving with velocity 3 m/s and 2 m/s respectively in opposite directions collided with each other and after collision attain a common velocity then the loss of kinetic energy of system is equal to the following

यदि 2 किग्रा तथा 3 किग्रा द्रव्यमान की दो वस्तुएँ क्रमशः 3 मी/से तथा 2 मी/से के वेग से विपरीत दिशा में गति करते हुए टकराती है तथा टक्कर के बाद समान गति प्राप्त करती है, तो निकाय की गतिज ऊर्जा की हानि निम्नलिखित के बराबर होती है

A5 J5 जूल
B10 J10 जूल
C15 J15 जूल
D20 J20 जूल

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Concept: In a perfectly inelastic collision, KE lost $= \frac{1}{2} μ v_{r e l}^{2}$ , $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ .

Momentum: $2 (3) - 3 (2) = 0$ → common velocity 0, so all KE is lost.
Initial KE $= \frac{1}{2} (2) (9) + \frac{1}{2} (3) (4) = 9 + 6 = 15$ J.
Check: $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot (5)^{2} = 15$ J.

Short trick: Equal and opposite momenta ⇒ bodies stop ⇒ entire KE lost.

अवधारणा: पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट में गतिज ऊर्जा हानि $= \frac{1}{2} μ v_{r e l}^{2}$ ।

संवेग: $2 (3) - 3 (2) = 0$ → उभयनिष्ठ वेग शून्य, पूरी KE नष्ट।
प्रारम्भिक KE $= 9 + 6 = 15$ J।
जाँच: $\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot 25 = 15$ J।

याद रखें: संवेग बराबर-विपरीत ⇒ दोनों रुकते हैं ⇒ पूरी ऊर्जा हानि।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsPerfectly inelastic collisionUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q71.

Statements :
I. The Lagrange bracket is invariant under cannonical transformation.
II. The Lagrange bracket obey the commutative law of algebra as

{u, v} = - {v, u}

कथन :
I. कैनोनिकल रूपान्तरण में लेग्रेन्ज कोष्ठक अपरिवर्तित रहता है ।
II. लेग्रेन्ज कोष्ठक क्रमविनिमेय नियम

{u, v} = - {v, u}

का पालन करता है ।

ABoth statements I and II are correctदोनों कथन I और II सत्य हैं
BNeither statement I nor statement II is correctन तो कथन I और न ही कथन II सत्य हैं
COnly statement II is correctकेवल कथन II सत्य है
DOnly statement I is correctकेवल कथन I सत्य है

Show answer

Concept: ${u, v} = \sum_{i} (\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v} - \frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v})$ .

Lagrange (like Poisson) brackets are canonical invariants – I correct.
Interchanging $u, v$ flips the sign: ${u, v} = - {v, u}$ (anti-commutation, as stated) – II correct.

Short trick: Lagrange/Poisson brackets: invariant + antisymmetric.

अवधारणा: ${u, v} = \sum_{i} (\frac{\partial q_{i}}{\partial u} \frac{\partial p_{i}}{\partial v} - \frac{\partial p_{i}}{\partial u} \frac{\partial q_{i}}{\partial v})$ ।

लाग्रांज कोष्ठक कैनोनिकल रूपान्तरण में अपरिवर्तित रहते हैं – I सत्य।
$u, v$ बदलने पर चिह्न बदलता है: ${u, v} = - {v, u}$ – II सत्य।

याद रखें: लाग्रांज/प्वासों कोष्ठक: अपरिवर्ती + प्रतिसममित।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLagrange bracketsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q72.

The travelling twins in the twin paradox moves at 0.8 C speed on a round trip for 10 years. How much time will the travelling twin experience according to the special theory of relativity ?

जुड़वा विरोधाभास में यात्रा करने वाला जुड़वा यदि 0.8 C चाल से एक परिक्रमायुक्त यात्रा पर 10 वर्ष के लिए जाता है । सापेक्षता सिद्धान्त के अनुसार गतिशील जुड़वा कितना समय अनुभव करेगा ?

A4 years4 वर्ष
B6 years6 वर्ष
C8 years8 वर्ष
D10 years10 वर्ष

Show answer

Concept: Proper time of the traveller $τ = t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (10 years is the Earth-frame time).

$\sqrt{1 - 0.64} = 0.6$ .
$τ = 10 \times 0.6 = 6$ years.

Short trick: 0.6c ↔ 0.8 factor; 0.8c ↔ 0.6 factor (3-4-5 triangle).

अवधारणा: यात्री का उचित काल $τ = t \sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}$ (10 वर्ष पृथ्वी-फ्रेम का समय)।

$\sqrt{1 - 0.64} = 0.6$ ।
$τ = 10 \times 0.6 = 6$ वर्ष।

याद रखें: 0.8c ⇒ गुणांक 0.6 (3-4-5 त्रिभुज)।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsTime dilation – twin paradoxUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q73.

The value of

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - a) d x

is following

समाकलन

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) δ (x - a) d x

का मान निम्नलिखित होता है

A $f (\infty)$
B $f (0)$
C $f (x)$
D $f (a)$

Show answer

Concept: Sifting property of the delta function.

$δ (x - a) = 0$ for $x \neq a$ and $\int δ (x - a) d x = 1$ .
So only the value at $x = a$ survives: $\int f (x) δ (x - a) d x = f (a)$ .

Short trick: Delta ‘picks out’ $f$ where its argument vanishes.

अवधारणा: डेल्टा फलन का चयन (sifting) गुण।

$x \neq a$ पर $δ (x - a) = 0$ तथा $\int δ (x - a) d x = 1$ ।
अतः केवल $x = a$ का मान बचता है: $f (a)$ ।

याद रखें: डेल्टा वहीं का $f$ चुनता है जहाँ उसका तर्क शून्य हो।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsDirac delta functionUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q74.

P_{n} (x)

be the Legendre polynomial of degree n, then for n = 0, what will be the value of

\int_{- 1}^{+ 1} P_{n} (x) d x

यदि

P_{n} (x)

डिग्री n का लेजेंडर बहुपद है, तो n = 0 के लिए

\int_{- 1}^{+ 1} P_{n} (x) d x

का मान क्या होगा ?

A $\infty$
B0
C1
D2

Show answer

Concept: $P_{0} (x) = 1$ ; generally $\int_{- 1}^{1} P_{n} d x = \int P_{n} P_{0} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{n 0}$ .

For $n = 0$ : $\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ .
For any $n \geq 1$ the integral is 0 (orthogonality with $P_{0}$ ).

Short trick: $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ → $n = 0$ gives 2.

अवधारणा: $P_{0} (x) = 1$ ; सामान्यतः $\int_{- 1}^{1} P_{n} d x = \frac{2}{2 n + 1} δ_{n 0}$ ।

$n = 0$ : $\int_{- 1}^{1} 1 d x = 2$ ।
$n \geq 1$ के लिए समाकल 0 (लम्बकोणीयता)।

याद रखें: $\int_{- 1}^{1} P_{n}^{2} d x = \frac{2}{2 n + 1}$ → $n = 0$ पर 2।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLegendre polynomialsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q75.

Grad

(\vec{r} \cdot \vec{r})

is expressed as following

प्रवणता

(\vec{r} \cdot \vec{r})

निम्नलिखित से व्यक्त किया जाता है

A $\vec{r}$
B $2 \vec{r}$
C $\frac{\vec{r}}{2}$
D $2 (x + y + z)$

Show answer

Concept: $\vec{r} \cdot \vec{r} = r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

$\nabla (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 2 x \hat{i} + 2 y \hat{j} + 2 z \hat{k}$ .
$= 2 \vec{r}$ (a vector; option D is a scalar, so wrong).

Short trick: $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} \vec{r}$ ; $n = 2$ → $2 \vec{r}$ .

अवधारणा: $\vec{r} \cdot \vec{r} = r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ।

$\nabla (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 2 x \hat{i} + 2 y \hat{j} + 2 z \hat{k}$ ।
$= 2 \vec{r}$ (सदिश; विकल्प D अदिश है)।

याद रखें: $\nabla r^{n} = n r^{n - 2} \vec{r}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsVector calculus – gradientUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q76.

f (x) = (x - 3)

, for

x \geq 3

, then Laplace transform of f(x) is
(where s has usual meaning)

यदि

f (x) = (x - 3)

x \geq 3

के लिए, तो f(x) का लाप्लास रूपान्तरण होता है
(जहाँ s का सामान्य अर्थ है)

A $s^{- 2} e^{- 3 s}$
B $s^{2} e^{- 3 s}$
C $s^{- 2} e^{3 s}$
D $s^{2} e^{3 s}$

Show answer

Concept: Second shifting theorem: $L {g (x - a) u (x - a)} = e^{- a s} G (s)$ .

Here $f (x) = (x - 3) u (x - 3)$ , i.e. $g (x) = x$ shifted by $a = 3$ .
$L {x} = \frac{1}{s^{2}}$ ⇒ $F (s) = \frac{e^{- 3 s}}{s^{2}} = s^{- 2} e^{- 3 s}$ .

Short trick: Delay by $a$ ⇒ multiply by $e^{- a s}$ (always a negative exponent).

अवधारणा: द्वितीय विस्थापन प्रमेय: $L {g (x - a) u (x - a)} = e^{- a s} G (s)$ ।

$f (x) = (x - 3) u (x - 3)$ , अर्थात $g (x) = x$ , $a = 3$ ।
$L {x} = \frac{1}{s^{2}}$ ⇒ $F (s) = s^{- 2} e^{- 3 s}$ ।

याद रखें: $a$ का विलम्ब ⇒ $e^{- a s}$ से गुणा।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLaplace transform – shifting theoremUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q77.

Fourier transform of which of the following function does not exist ?

निम्नलिखित में से किस फलन के लिए फूरियेर रूपान्तरण नहीं होता है ?

A $e^{- | x |}$
B $x e^{- x^{2}}$
C $e^{x^{2}}$
D $e^{- x^{2}}$

Show answer

Concept: Sufficient condition (Dirichlet): $f$ absolutely integrable, $\int_{- \infty}^{\infty} | f | d x < \infty$ .

$e^{- | x |}$ , $e^{- x^{2}}$ , $x e^{- x^{2}}$ all decay to 0 and are integrable → transforms exist.
$e^{x^{2}}$ blows up as $| x | \to \infty$ ; the integral diverges → no Fourier transform.

Short trick: Growing function ⇒ no Fourier transform.

अवधारणा: पर्याप्त शर्त: $\int_{- \infty}^{\infty} | f | d x < \infty$ (निरपेक्ष समाकलनीय)।

$e^{- | x |}$ , $e^{- x^{2}}$ , $x e^{- x^{2}}$ शून्य की ओर घटते हैं → रूपान्तरण विद्यमान।
$e^{x^{2}}$ अनन्त की ओर बढ़ता है; समाकल अपसारी → फूरियर रूपान्तरण नहीं।

याद रखें: बढ़ता फलन ⇒ फूरियर रूपान्तरण नहीं।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsFourier transform – existenceUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q78.

The value of integral

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{(13 + 4 \cos θ + 3 \sin θ)} d θ

समाकलन

\int_{0}^{2 π} \frac{1}{(13 + 4 \cos θ + 3 \sin θ)} d θ

का मान होता है

A $π / 8$
B $π / 6$
C $π / 4$
D $π / 3$

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Concept: Standard result (contour integration): $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{a + b \cos θ + c \sin θ} = \frac{2 π}{\sqrt{a^{2} - b^{2} - c^{2}}}$ , $a^{2} > b^{2} + c^{2}$ .

$4 \cos θ + 3 \sin θ = 5 \cos (θ - ϕ)$ .
$\sqrt{169 - 25} = 12$ .
Value $= \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ .

Short trick: $2 π / \sqrt{a^{2} - (b^{2} + c^{2})}$ .

अवधारणा: मानक परिणाम: $\int_{0}^{2 π} \frac{d θ}{a + b \cos θ + c \sin θ} = \frac{2 π}{\sqrt{a^{2} - b^{2} - c^{2}}}$ ।

$4 \cos θ + 3 \sin θ = 5 \cos (θ - ϕ)$ ।
$\sqrt{169 - 25} = 12$ ।
मान $= \frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ ।

याद रखें: $2 π / \sqrt{a^{2} - (b^{2} + c^{2})}$ ।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsContour integration – trigonometric integralsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q79.

Identify the correct statement for the following vectors.

\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}

\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j}

निम्नलिखित सदिश राशियों की सही कथन पहचान का विवरण दीजिए ।

\vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j}

\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j}

AThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are linearly independentसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
BThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are linearly dependentसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ रैखिक रूप से आश्रित हैं
CThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are mutually orthogonalसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ पर परस्पर लम्बवत हैं
DThe vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel to each otherसदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ एक दूसरे के समान्तर हैं

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Concept: Two vectors are dependent only if one is a scalar multiple of the other (determinant zero).

$| \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 6 - 2 = 4 \neq 0$ → independent (hence not parallel).
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + 4 = 7 \neq 0$ → not orthogonal.

Short trick: Ratios 3/1 ≠ 2/2 ⇒ not parallel ⇒ independent.

अवधारणा: दो सदिश तभी आश्रित होते हैं जब एक दूसरे का अदिश गुणज हो (सारणिक शून्य)।

सारणिक $= 6 - 2 = 4 \neq 0$ → स्वतंत्र (अतः समान्तर नहीं)।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \neq 0$ → लम्बवत नहीं।

याद रखें: अनुपात 3/1 ≠ 2/2 ⇒ स्वतंत्र।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsLinear independence of vectorsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1

Q80.

Bose-Einstein statistics is applied to the particle, that

बोस-आइन्सटीन सांख्यिकी उन कणों पर प्रयुक्त होता है, जो

AObey Pauli’s exclusion principleपाउली अपवर्जन नियम का पालन करते हैं
BDo not obey Pauli’s exclusion principleपाउली अपवर्जन नियम का पालन नहीं करते हैं
CAre distinguishableविभेदनीय होते हैं
DHave half-odd integer spinअर्ध-विषम पूर्णांक स्पिन रखते हैं

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Concept: BE statistics: identical, indistinguishable particles of integer spin (bosons), any number per state.

Bosons do not obey Pauli’s principle.
Pauli + half-integer spin → Fermi–Dirac; distinguishable → Maxwell–Boltzmann.

Short trick: MB – distinguishable; BE – no Pauli; FD – Pauli.

अवधारणा: BE सांख्यिकी: पूर्णांक स्पिन वाले अविभेदनीय कण (बोसॉन), एक अवस्था में कितने भी।

बोसॉन पाउली नियम का पालन नहीं करते।
पाउली + अर्ध-पूर्णांक स्पिन → फर्मी-डिरैक; विभेदनीय → मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान।

याद रखें: MB – विभेदनीय; BE – पाउली नहीं; FD – पाउली।

UPHESC Assistant Professor PhysicsPhysicsQuantum statisticsUPHESC Assistant Professor Physics 2025 · 17 Apr Shift 1